Ισοβασικό ύψος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10934
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισοβασικό ύψος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 05, 2019 9:13 pm

Ισοβασικό  ύψος.png
Ισοβασικό ύψος.png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές
Στο οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , το ύψος AD είναι ίσο με τη βάση BC , ενώ

η διάμεσος CM σχηματίζει γωνία 30^0 με την CB . Υπολογίστε το λόγο \dfrac{BD}{DC} .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισοβασικό ύψος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιαν 05, 2019 10:44 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 05, 2019 9:13 pm
Ισοβασικό ύψος.pngΣτο οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , το ύψος AD είναι ίσο με τη βάση BC , ενώ

η διάμεσος CM σχηματίζει γωνία 30^0 με την CB . Υπολογίστε το λόγο \dfrac{BD}{DC} .

Εντός του τετραγώνου πλευράς \displaystyle BC κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle KBC

Η κάθετη στην \displaystyle KBστο \displaystyle K τέμνει την \displaystyle EF στο \displaystyle A και η προβολή του στην \displaystyle BC είναι το \displaystyle D

Η κάθετη από το \displaystyle C στην \displaystyle KB τέμνει την \displaystyle AB στο μέσον της \displaystyle M

Είναι \displaystyle KA = AE(εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου\displaystyle \left( {B,BC} \right)).Άρα \displaystyle \angle ABK = {15^0} \Rightarrow \angle ABD = {75^0}

\displaystyle \tan {75^0} = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{BC}}{{BD}} \Rightarrow \sqrt 3  + 2 = \frac{{BD + DC}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{DC}}{{BD}} = \sqrt 3  + 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{1}{{\sqrt 3  + 1}}}
Iσοβασικό ύψος.png
Iσοβασικό ύψος.png (17.54 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6780
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοβασικό ύψος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 05, 2019 11:13 pm

Κατασκευή

Έστω ευθύγραμμο τμήμα BC = a και ευθεία g παράλληλο σ αυτό σε απόσταση a. Θεωρώ, με κορυφή το C, ευθεία που σχηματίζει γωνία 30^\circ με τη BC.

Η ευθεία αυτή τέμνει τη g στο T. Αν M το μέσο του CT η BM τέμνει τη g στο A.

Το τετράπλευρο BCAT είναι παραλληλόγραμμο γιατί κάθε ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το M

και έχει τα άκρα του στις παράλληλες BC και g θα διχοτομείται από το M, δηλαδή εδώ AM = MB .

Επειδή η απόσταση TS από τη BC είναι a , θα είναι \boxed{TC = 2a \Rightarrow CM =MT = a}.
Ισοβασικό ύψος.png
Ισοβασικό ύψος.png (19.94 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

Αν τώρα BD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = y\,\, θα είναι \left\{ \begin{gathered} 
  x + y = a \hfill \\ 
  \tan 75^\circ  = \frac{{AD}}{x} = \frac{a}{x} \hfill \\ 
  \tan 75^\circ  = 2 + \sqrt 3  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  a = x(2 + \sqrt 3 ) \hfill \\ 
  y = a - x = x(1 + \sqrt 3 ) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} = \frac{1}{{1 + \sqrt 3 }}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6780
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοβασικό ύψος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 06, 2019 12:22 am

Ισοβασικό ύψος_new.png
Ισοβασικό ύψος_new.png (13.68 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές
Αλλιώς

Το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι :

E = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow \dfrac{E}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow (MBC) = \dfrac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{2}aMC\sin 30^\circ  = \dfrac{{{a^2}}}{4} και άρα \boxed{MC = a} τα υπόλοιπα όπως πιο πάνω


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1044
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Ισοβασικό ύψος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Κυρ Ιαν 06, 2019 1:31 am

Ισοβασικο ύψος.PNG
Ισοβασικο ύψος.PNG (15.9 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές
MN //AD και AD=2MN αφού (BM=MA)

Στο ορθ τριγ MNC η MN βρίσκεται απέναντι από 30^0 συνεπώς \displaystyle 2MN=MC=AD=BC=a

\displaystyle \triangle MNC:  NC= \frac{\sqrt3}{2} MC= \frac{\sqrt3}{2} a

Ενώ \displaystyle BN=BC-NC=a- \frac{\sqrt3}{2} a=(1- \frac{\sqrt3}{2} )a

\displaystyle DC=BC-2BN=a-(2-\sqrt3)a=(-1+\sqrt3)a

\displaystyle   \frac{BD}{DC}  =\frac{2BN}{DC}=\frac{(2-\sqrt3)a}{(-1+\sqrt3)a}=\frac{\sqrt3-1}{2}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3253
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισοβασικό ύψος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Ιαν 06, 2019 9:25 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 05, 2019 9:13 pm
Στο οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , το ύψος AD είναι ίσο με τη βάση BC , ενώ

η διάμεσος CM σχηματίζει γωνία 30^0 με την CB . Υπολογίστε το λόγο \dfrac{BD}{DC} .
Καλημέρα!
shape.png
shape.png (15.91 KiB) Προβλήθηκε 448 φορές
Θέτω BD = 2x,DC = 2y. Οι παράλληλες από τα M,C προς τις BC,AD αντίστοιχα τέμνονται στο K.

Από Π.Θ. στο  \triangleleft MKC παίρνουμε την εξίσωση 2{x^2} + 2xy - {y^2} = 0.

Διαιρώντας κάθε όρο με {y^2} και θέτοντας a = \dfrac{x}{y} καταλήγουμε στο τριώνυμο 2{a^2} + 2a - 1 = 0 με δεκτή λύση a = \dfrac{{\sqrt 3  - 1}}{2}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4429
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ισοβασικό ύψος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Ιαν 06, 2019 10:26 am

Καλημέρα σε όλους.

06-01-2019 Γεωμετρία.jpg
06-01-2019 Γεωμετρία.jpg (24.55 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές


Έστω D(0,0), A(0,1), C(b, 0), B(b-1, 0), 1> b > 0.

Τότε  \displaystyle M\left( {\frac{{b - 1}}{2},\;\frac{1}{2}} \right) και  \displaystyle {\lambda _{MC}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{{b - 1}}{2} - b}} =  - \frac{1}{{b + 1}} = \varepsilon \varphi 150^\circ  =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow b = \sqrt 3  - 1 ,

οπότε \displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{1 - b}}{b} = \frac{1}{b} - 1 = \frac{1}{{\sqrt 3  - 1}} - 1 = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες