Η μικρότερη τιμή διαγωνίου

#1

: Η μικρότερη τιμή διαγωνίου.png (16.38 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές

Οι διαγώνιοι εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ABCD

τέμνονται στο

και η

διχοτομεί τη γωνία $B\widehat AD.$

Αν BC=4

και

να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει η διαγώνιος BD.

#2

: Μικρότερη τιμή διαγωνίου.png (32.37 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

. Προφανώς λόγω διχοτόμου της γωνίας $\widehat {BAD}$ το τρίγωνο CDB

είναι ισοσκελές και έτσι η

είναι μεσοκάθετος στο

.

Θέτω KC = x

Αν λοιπόν

το μέσο του

, το τετράπλευρο AEMK

είναι εγγράψιμο και άρα:

$CK \cdot CA = CM \cdot CE \Rightarrow \boxed{x(x + 6) = CM \cdot 2R}\,\,(1)$ και ως γνωστό

$CD \cdot CB = 2R \cdot CM\,\,\,\,(\beta \gamma = 2R{\upsilon _a}) \Rightarrow \boxed{16 = CM \cdot 2R}\,\,(2)$ .

Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχω: ${x^2} + 6x - 16 = 0 \Rightarrow \boxed{x = 2}$ .

Αλλά η χορδή

θα γίνει ελάχιστη όταν το προς αυτή ύψος από το

γίνει μέγιστο δηλαδή: CM = x = 2

.

Τότε η $AC \equiv EC$ και $MB = \sqrt {{4^2} - {2^2}} = \sqrt {12} \Rightarrow \boxed{B{D_{\min }} = 2\sqrt {12} = 4\sqrt 3 }$

#3

Σ' ευχαριστώ Νίκο για τη λύση. Ας δούμε μία διαφορετική προσέγγιση.

: Η μικρότερη τιμή διαγωνίου.β.png (18.12 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

Με Stewart στο CDB:

$\displaystyle 16y + 16z = {x^2}BD + yzBD\mathop \Leftrightarrow \limits^{6x = yz} {x^2} + 6x - 16 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=2}$

Άρα yz=12,

οπότε το άθροισμα y+z=BD

γίνεται ελάχιστο όταν $\displaystyle y = z = 2\sqrt 3 \Rightarrow$ $\boxed{B{D_{\min }} = 4\sqrt 3 }$

Η μικρότερη τιμή διαγωνίου

Η μικρότερη τιμή διαγωνίου

Re: Η μικρότερη τιμή διαγωνίου

Re: Η μικρότερη τιμή διαγωνίου

Μέλη σε σύνδεση