Η μικρότερη τιμή διαγωνίου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Η μικρότερη τιμή διαγωνίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 04, 2019 7:32 pm

Η μικρότερη τιμή διαγωνίου.png
Η μικρότερη τιμή διαγωνίου.png (16.38 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές
Οι διαγώνιοι εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ABCD τέμνονται στο K και η AC διχοτομεί τη γωνία B\widehat AD.

Αν BC=4 και AK=6 να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει η διαγώνιος BD.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6456
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η μικρότερη τιμή διαγωνίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 04, 2019 9:27 pm

Μικρότερη τιμή διαγωνίου.png
Μικρότερη τιμή διαγωνίου.png (32.37 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές

Ας είναι E το αντιδιαμετρικό του C. Προφανώς λόγω διχοτόμου της γωνίας \widehat {BAD} το τρίγωνο CDB είναι ισοσκελές και έτσι η CE είναι μεσοκάθετος στο DB.

Θέτω KC = x

Αν λοιπόν M το μέσο του BD, το τετράπλευρο AEMK είναι εγγράψιμο και άρα:

CK \cdot CA = CM \cdot CE \Rightarrow \boxed{x(x + 6) = CM \cdot 2R}\,\,(1) και ως γνωστό

CD \cdot CB = 2R \cdot CM\,\,\,\,(\beta \gamma  = 2R{\upsilon _a}) \Rightarrow \boxed{16 = CM \cdot 2R}\,\,(2) .

Από τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) έχω: {x^2} + 6x - 16 = 0 \Rightarrow \boxed{x = 2}.

Αλλά η χορδή BD θα γίνει ελάχιστη όταν το προς αυτή ύψος από το C γίνει μέγιστο δηλαδή: CM = x = 2.

Τότε η AC \equiv EC και MB = \sqrt {{4^2} - {2^2}}  = \sqrt {12}  \Rightarrow \boxed{B{D_{\min }} = 2\sqrt {12}  = 4\sqrt 3 }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η μικρότερη τιμή διαγωνίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 06, 2019 5:37 pm

Σ' ευχαριστώ Νίκο για τη λύση. Ας δούμε μία διαφορετική προσέγγιση.
Η μικρότερη τιμή διαγωνίου.β.png
Η μικρότερη τιμή διαγωνίου.β.png (18.12 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές
Με Stewart στο CDB: \displaystyle 16y + 16z = {x^2}BD + yzBD\mathop  \Leftrightarrow \limits^{6x = yz} {x^2} + 6x - 16 = 0 \Leftrightarrow \boxed{x=2}

Άρα yz=12, οπότε το άθροισμα y+z=BD γίνεται ελάχιστο όταν \displaystyle y = z = 2\sqrt 3  \Rightarrow \boxed{B{D_{\min }} = 4\sqrt 3 }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης