Έστω το σημείο
και ας είναι
, η προβολή του σημείου
επί της
, αντί του
της εκφώνησης.
Στο τρίγωνο
, με
, έχουμε
, λόγω
και
.
Η ευθεία
τώρα, περνάει από το σημείο έστω
, λόγω του τραπεζίου
και
.
Για να ισχύει το ζητούμενο
, αρκεί να αποδειχθεί ότι η ευθεία
εφάπτεται στον περίκυκλο έστω
του τριγώνου
στο σημείο
.
Αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί ότι ισχύει
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο
έχουμε
Από
αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Από
, σύμφωνα με το
Θεώρημα Newton, αρκεί να αποδειχθεί ότι η σημειοσειρά
είναι αρμονική, όπου
είναι το συμμετρικό σημείο του
ως προς το
.
- Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο.
- f 178_t 63520.PNG (24.63 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές
Στο τρίγωνο
με διατέμνουσα την
, σύμφωνα με το
Θεώρημα Μενελάου,
έχουμε
λόγω
.
Από
και
λόγω
προκύπτει
Από
συμπεραίνεται ότι η σημειοσειρά
είναι αρμονική.
Γνωστό
Λήμμα στα αρμονικά συζυγή, η απόδειξη του οποίου αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη
.
Άρα, σύμφωνα με το
Θεώρημα Newton, η
αληθεύει και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας