Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13298
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο
Αν είναι το σημείο τομής των και η προβολή του στην να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο
quote="george visvikis" post_id=306976 time=1546616173 user_id=10857]
Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο.png
Έστω το ύψος και η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου με το μέσο του
Αν είναι το σημείο τομής των και η προβολή του στην να δείξετε ότι
[/quote]
Αρκεί να δείξουμε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια και γι αυτό αρκεί να δείξω ότι οι και είναι κάθετες .
Η καθετότητα αυτή με αναλυτική γεωμετρία δεν είναι δύσκολη.
Θεωρώ καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το και μοναδιαίο διάνυσμα του κατακόρυφου άξονα το , συνεπώς .
Ακόμα έστω και επειδή
και άρα
Έχω :
ελήφθη υπ’ όψη και η . Τώρα με συντελεστή διεύθυνσης :
συνεπώς της καθέτου προς την είναι .
Έτσι το θα έχει συντεταγμένες που δίδονται από το σύστημα :
Οι συντελεστές διεύθυνσης των είναι αντίστοιχα :
Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο.png
Έστω το ύψος και η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου με το μέσο του
Αν είναι το σημείο τομής των και η προβολή του στην να δείξετε ότι
[/quote]
Αρκεί να δείξουμε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια και γι αυτό αρκεί να δείξω ότι οι και είναι κάθετες .
Η καθετότητα αυτή με αναλυτική γεωμετρία δεν είναι δύσκολη.
Θεωρώ καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το και μοναδιαίο διάνυσμα του κατακόρυφου άξονα το , συνεπώς .
Ακόμα έστω και επειδή
και άρα
Έχω :
ελήφθη υπ’ όψη και η . Τώρα με συντελεστή διεύθυνσης :
συνεπώς της καθέτου προς την είναι .
Έτσι το θα έχει συντεταγμένες που δίδονται από το σύστημα :
Οι συντελεστές διεύθυνσης των είναι αντίστοιχα :
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο
Έστω το σημείο και ας είναι , η προβολή του σημείου επί της , αντί του της εκφώνησης.
Στο τρίγωνο , με , έχουμε , λόγω και .
Η ευθεία τώρα, περνάει από το σημείο έστω , λόγω του τραπεζίου και .
Για να ισχύει το ζητούμενο , αρκεί να αποδειχθεί ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου στο σημείο .
Αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί ότι ισχύει
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε
Από αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Newton, αρκεί να αποδειχθεί ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου είναι το συμμετρικό σημείο του ως προς το . Στο τρίγωνο με διατέμνουσα την , σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου,
έχουμε λόγω .
Από και λόγω προκύπτει
Από συμπεραίνεται ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική.
Γνωστό Λήμμα στα αρμονικά συζυγή, η απόδειξη του οποίου αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη .
Άρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton, η αληθεύει και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας
Στο τρίγωνο , με , έχουμε , λόγω και .
Η ευθεία τώρα, περνάει από το σημείο έστω , λόγω του τραπεζίου και .
Για να ισχύει το ζητούμενο , αρκεί να αποδειχθεί ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου στο σημείο .
Αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί ότι ισχύει
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε
Από αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Newton, αρκεί να αποδειχθεί ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου είναι το συμμετρικό σημείο του ως προς το . Στο τρίγωνο με διατέμνουσα την , σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου,
έχουμε λόγω .
Από και λόγω προκύπτει
Από συμπεραίνεται ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική.
Γνωστό Λήμμα στα αρμονικά συζυγή, η απόδειξη του οποίου αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη .
Άρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton, η αληθεύει και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες