Έστω το σημείο

και ας είναι

, η προβολή του σημείου

επί της

, αντί του

της εκφώνησης.
Στο τρίγωνο

, με

, έχουμε

, λόγω

και

.
Η ευθεία

τώρα, περνάει από το σημείο έστω

, λόγω του τραπεζίου

και

.

Για να ισχύει το ζητούμενο

, αρκεί να αποδειχθεί ότι η ευθεία

εφάπτεται στον περίκυκλο έστω

του τριγώνου

στο σημείο

.
Αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί ότι ισχύει
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο

έχουμε
Από

αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Από

, σύμφωνα με το
Θεώρημα Newton, αρκεί να αποδειχθεί ότι η σημειοσειρά

είναι αρμονική, όπου

είναι το συμμετρικό σημείο του

ως προς το

.

- Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο.
- f 178_t 63520.PNG (24.63 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές

Στο τρίγωνο

με διατέμνουσα την

, σύμφωνα με το
Θεώρημα Μενελάου,
έχουμε

λόγω

.
Από

και

λόγω

προκύπτει
Από

συμπεραίνεται ότι η σημειοσειρά

είναι αρμονική.

Γνωστό
Λήμμα στα αρμονικά συζυγή, η απόδειξη του οποίου αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη

.
Άρα, σύμφωνα με το
Θεώρημα Newton, η

αληθεύει και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας