Διπλός διπλασιασμός

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10406
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διπλός διπλασιασμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 03, 2019 11:33 am

Διπλός  διπλασιασμός.png
Διπλός διπλασιασμός.png (9.48 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές
Από σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AB=2r ενός ημικυκλίου , φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα ST . Βρείτε τη θέση του S , για την οποία είναι :

α) ST=2TB ... β) SB=2TB . Θαυμάστε τη διαφορά των δύο θέσεων του S :!:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6279
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διπλός διπλασιασμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιαν 03, 2019 3:06 pm

α)
Διπλός διπλασιασμός_a.png
Διπλός διπλασιασμός_a.png (14.7 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Ας είναι K η προβολή του T στη διάμετρο και TD η διχοτόμος του \vartriangle TDS . Θέτω :
KB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD = m \Rightarrow DS = 2m . Η τετράδα (K,S\backslash A,B) είναι αρμονική και θα έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{BK}}{{BS}} = \frac{{AK}}{{AS}} \hfill \\ 
  T{B^2} = BK \cdot BA \hfill \\ 
  T{S^2} = 4T{B^2} = BS \cdot SA \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{x}{{3m}} = \frac{{2R - x}}{{2R + 3m}} \hfill \\ 
  T{B^2} = 2Rx \hfill \\ 
  T{S^2} = 4T{B^2} = 3m(2R + 3m) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Με διαίρεση των δύο τελευταίων κατά μέλη και μετά απαλοιφή του x έχω :

9{m^2} + 9mR - 6{R^2} = 0 \Rightarrow \boxed{m = R\frac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{6}} και άρα \boxed{BS = R\frac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{2}}

β)
Διπλός διπλασιασμός_b.png
Διπλός διπλασιασμός_b.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Τώρα θεωρώ M το μέσο του BS και K τη προβολή του T στη διάμετρο AB.

Αν θέσω : KB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB = BM = MS = u θα έχω

Τη τετράδα (K,S\backslash A,B) αρμονική, αφού \widehat {{\theta _1}} = \widehat {A\,\,\,}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _2}} = \widehat {A\,\,\,} κι έτσι θα ισχύουν :

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{BK}}{{BS}} = \frac{{AK}}{{AS}} \hfill \\ 
  T{B^2} = BK \cdot BA \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{x}{{2u}} = \frac{{2R - x}}{{2R + 2u}} \hfill \\ 
  {u^2} = 2Rx \hfill \\  
\end{gathered}  \right. απ’ όπου με απαλοιφή του x έχω την εξίσωση ,

2{u^2} + Ru - 4{R^2} = 0 \Rightarrow \boxed{u = R\frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{4}} και άρα \boxed{BS = R\frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2}}

Η θετική διαφορά των δύο θέσεων είναι R αν δεν έκανα λάθος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7710
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλός διπλασιασμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 03, 2019 5:06 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 03, 2019 11:33 am
Διπλός διπλασιασμός.pngΑπό σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AB=2r ενός ημικυκλίου , φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα ST . Βρείτε τη θέση του S , για την οποία είναι :

α) ST=2TB ... β) SB=2TB . Θαυμάστε τη διαφορά των δύο θέσεων του S :!:
Και στα δύο ερωτήματα στηρίζομαι στην ομοιότητα των τριγώνων ATS, BTS.
Διπλός διπλασιασμός.png
Διπλός διπλασιασμός.png (19.48 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
α) Στο Σχήμα-1, \displaystyle \frac{{\sqrt {4{r^2} - {x^2}} }}{x} = \frac{{2r + y}}{{2x}} = \frac{{2x}}{y} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
4{x^2} = y(y + 2r)\\ 
2r + y = 2\sqrt {4{r^2} - {x^2}}  
\end{array} \right.

και με απαλοιφή του x, \boxed{BS = y = \frac{r}{2}\left( {\sqrt {33}  - 3} \right)}

β) Στο Σχήμα-2, \displaystyle \frac{{\sqrt {4{r^2} - {x^2}} }}{x} = \frac{{2(r + x)}}{y} = \frac{y}{{2x}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
{y^2} = 4x(r + x)\\ 
y\sqrt {4{r^2} - {x^2}}  = 2x(r + x) 
\end{array} \right.

και με απαλοιφή του y, \boxed{BS = 2x = \frac{r}{2}\left( {\sqrt {33}  - 1} \right)} Η διαφορά των δύο θέσεων είναι R.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης