Αλλόκοτη εφαπτομένη

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10398
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αλλόκοτη εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 31, 2018 10:53 am

Αλλόκοτη  εφαπτομένη.png
Αλλόκοτη εφαπτομένη.png (10.51 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC ,  ( \hat{A}=90^0 ) , η διχοτόμος της γωνίας \hat{B} τέμνει

τη διχοτόμο CD στο σημείο S . Αν BS=CD , υπολογίστε την \tan{B} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7699
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αλλόκοτη εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 31, 2018 1:22 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 31, 2018 10:53 am
Αλλόκοτη εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC ,  ( \hat{A}=90^0 ) , η διχοτόμος της γωνίας \hat{B} τέμνει

τη διχοτόμο CD στο σημείο S . Αν BS=CD , υπολογίστε την \tan{B} .
Χρόνια Πολλά! :santalogo:
Αλλόκοτη εφαπτομένη.png
Αλλόκοτη εφαπτομένη.png (16.04 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές
\displaystyle D{C^2} = {b^2} + A{D^2} = {b^2} + \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{{(a + b)}^2}}} = {b^2}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + 2ab + {c^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}} \right) = \frac{{2a{b^2}(a + b)}}{{{{(a + b)}^2}}} \Leftrightarrow \boxed{D{C^2} = \frac{{2a{b^2}}}{{a + b}}} (1)

Νόμος ημιτόνων στο BSC: \displaystyle \frac{{BS}}{{\sin \frac{C}{2}}} = \frac{a}{{\sin 135^\circ }} \Leftrightarrow BS = a\sqrt 2 \sin \frac{C}{2} = a\sqrt 2 \frac{{AD}}{{DC}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{BS = DC} D{C^2} = a\sqrt 2 \frac{{bc}}{{a + b}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)}

\displaystyle \frac{{2a{b^2}}}{{a + b}} = \frac{{abc\sqrt 2 }}{{a + b}} \Leftrightarrow \boxed{\tan B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt 2}{2}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6271
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αλλόκοτη εφαπτομένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 31, 2018 8:44 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 31, 2018 10:53 am
Αλλόκοτη εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC ,  ( \hat{A}=90^0 ) , η διχοτόμος της γωνίας \hat{B} τέμνει

τη διχοτόμο CD στο σημείο S . Αν BS=CD , υπολογίστε την \tan{B} .
Χρόνια πολλά σε όλους . Με το καλό το νέο έτος 2019.

Φέρνω τη μεσοκάθετο στο AB που , ως γνωστό,διέρχεται από το κέντρο O του ημικυκλίου και συντρέχει στο μέσο N του τόξου AB με τη διχοτόμο CD.

Ας είναι δε T το σημείο τομής της με την (διχοτόμο )AS. Θέτω TB = TA = m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NA = NB = u.
Αλλόκοτη εφαπτομένη_ok.png
Αλλόκοτη εφαπτομένη_ok.png (58.55 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
Προφανώς τα τρίγωνα : NBS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TBA είναι ισοσκελή ορθογώνια και αφού

\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} ( εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο ) και \widehat {{\theta _2}} + \widehat \omega  = \widehat {{\theta _3}} + \widehat \omega  = 45^\circ  \Rightarrow \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}

Δηλαδή , \boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}}}. Τα ορθογώνια τρίγωνα ADC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TSB έχουν επίσης υποτείνουσες ίσες , άρα είναι ίσα και επομένως θα έχουν AC = TB = TA \Rightarrow \boxed{m = b}

Αφού δε AB = TB\sqrt 2  \Rightarrow c = b\sqrt 2  \Rightarrow \boxed{\tan B = \frac{b}{c} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1544
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Αλλόκοτη εφαπτομένη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιαν 01, 2019 2:04 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 31, 2018 10:53 am
Αλλόκοτη εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC ,  ( \hat{A}=90^0 ) , η διχοτόμος της γωνίας \hat{B} τέμνει

τη διχοτόμο CD στο σημείο S . Αν BS=CD , υπολογίστε την \tan{B} .


Καλή χρονιά σε όλους.. :santalogo:


Είναι \displaystyle \angle BSC = {135^0} \Rightarrow \angle DSB = {45^0}

Με \displaystyle BT \bot AS \Rightarrow BT = \frac{{c\sqrt 2 }}{2} και \displaystyle x = y = {45^0} + \frac{B}{2}

Έτσι, \displaystyle \vartriangle ADC = \vartriangle BST \Rightarrow BT = b \Rightarrow \frac{{c\sqrt 2 }}{2} = b \Rightarrow \boxed{\tan B = \frac{b}{c} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
Αλλόκοτη εφαπτομένη.png
Αλλόκοτη εφαπτομένη.png (19.36 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1761
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Αλλόκοτη εφαπτομένη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Ιαν 03, 2019 9:58 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 31, 2018 10:53 am
Αλλόκοτη εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC ,  ( \hat{A}=90^0 ) , η διχοτόμος της γωνίας \hat{B} τέμνει

τη διχοτόμο CD στο σημείο S . Αν BS=CD , υπολογίστε την \tan{B} .
Εστω το παραλληλόγραμμο NSBD
Τότε \hat{DCB}=\omega =\hat{ACD}=\hat{KSG}=\hat{SGD},

Το τετράπλευρο A\Pi SD είναι εγράψιμο σε κύκλο,γιατί \hat{S\Pi D}=\omega +\phi =45=\hat{\Pi AS},
Οπότε \hat{GSA}=\hat{\Pi DG}=\phi =\hat{SBA}
Τα τρίγωνα AGS,CSB είναι όμοια \dfrac{GS}{a}=\dfrac{AS}{SB}=\dfrac{AG}{CS}\Rightarrow    CS.CD=a.AS,(1)

Aπο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο CSB,\dfrac{CS}{a}=\dfrac{SD}{DB}=\dfrac{CD}{a+DB}, CD^{2}=AD^{2}+AC^{2}=\dfrac{2ab^{2}}{a+b},(2), CS=\dfrac{a.CD}{a+DB}\Rightarrow CS=\dfrac{(a+b)b\sqrt{2a}}{(a+b+c)\sqrt{a+b}},(3), AS=\rho \sqrt{2}\Rightarrow AS=\dfrac{bc\sqrt{2}}{a+b+c},(4), 

(1),(2),(3),(4)\Rightarrow 2b^{2}=c^{2}\Leftrightarrow \dfrac{b}{c}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow tanC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}



Γιάννης
Συνημμένα
Αλλόκοτη εφαπτομένη.png
Αλλόκοτη εφαπτομένη.png (57.58 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες