Επαφή στο μέσο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6271
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Επαφή στο μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Δεκ 30, 2018 12:40 pm

Επαφή στο μέσο.png
Επαφή στο μέσο.png (8.82 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και σταθερό σημείο K της διαμέτρου (πιο κοντά στο B). Έστω η κάθετη ευθεία g στην AB στο K.

Να φέρετε εφαπτόμενο τμήμα του ημικυκλίου που να τέμνει την ημιευθεία KB στο P και την ευθεία g στο Q , ώστε το σημείο επαφής M να είναι μέσο του PQ.



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1544
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Επαφή στο μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Δεκ 30, 2018 1:41 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 12:40 pm
Επαφή στο μέσο.png


Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και σταθερό σημείο K της διαμέτρου (πιο κοντά στο B). Έστω η κάθετη ευθεία g στην AB στο K.

Να φέρετε εφαπτόμενο τμήμα του ημικυκλίου που να τέμνει την ημιευθεία KB στο P και την ευθεία g στο Q , ώστε το σημείο επαφής M να είναι μέσο του PQ.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1761
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Επαφή στο μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Δεκ 30, 2018 2:10 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 12:40 pm
Επαφή στο μέσο.png


Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και σταθερό σημείο K της διαμέτρου (πιο κοντά στο B). Έστω η κάθετη ευθεία g στην AB στο K.

Να φέρετε εφαπτόμενο τμήμα του ημικυκλίου που να τέμνει την ημιευθεία KB στο P και την ευθεία g στο Q , ώστε το σημείο επαφής M να είναι μέσο του PQ.
Από το εγγραψιμο τεράπλευρο HKPM,OH.R=OK(R+x),x=BP,d=OK,OH=\dfrac{d(R+x)}{R},(1)

Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο OMP με τέμνουσα KHQ,\dfrac{OH}{HM}.\dfrac{QM}{QP}.\dfrac{PK}{KO}=1\Leftrightarrow OH=\dfrac{2Rd}{R-d+x},(2), (1),(2)\Rightarrow x^{2}+(2R-d)x-R(d+R)=0,x=\dfrac{d}{2}-R+\dfrac{1}{2}\sqrt{8R^{2}+d^{2}}
Συνημμένα
Επαφή στο μέσο.png
Επαφή στο μέσο.png (45.37 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7699
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαφή στο μέσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 30, 2018 5:45 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 12:40 pm
Επαφή στο μέσο.png


Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και σταθερό σημείο K της διαμέτρου (πιο κοντά στο B). Έστω η κάθετη ευθεία g στην AB στο K.

Να φέρετε εφαπτόμενο τμήμα του ημικυκλίου που να τέμνει την ημιευθεία KB στο P και την ευθεία g στο Q , ώστε το σημείο επαφής M να είναι μέσο του PQ.
Έστω O του κέντρο του ημικυκλίου και OK=d, OP=OQ=x.
Επαφή στο μέσο.png
Επαφή στο μέσο.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές
Πτολεμαίος στο εγγράψιμο OKMQ: \displaystyle x \cdot MK + d \cdot QM = R \cdot QK \Leftrightarrow (x + d)\sqrt {{x^2} - {R^2}}  = R\sqrt {{x^2} - {d^2}}

και καταλήγω στην εξίσωση: \displaystyle {x^2} + dx - 2{R^2}=0 \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{ - d + \sqrt {8{R^2} + {d^2}} }}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες