Ορθογωνιακά θέματα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10534
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθογωνιακά θέματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 27, 2018 9:55 am

Ορθογωνιακά  θέματα.png
Ορθογωνιακά θέματα.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD , με BC=b , AB=4b , προεκτείνω την BC κατά τμήμα CE=3b .

Το S είναι το έγκεντρο του τριγώνου DBE και ο κύκλος διαμέτρου DS , τέμνει την πλευρά AB

στα σημεία P,M . Δείξτε ότι η DP είναι η διχοτόμος της \widehat{ADC} και επίσης ότι το σημείο M είναι

το μέσο της AB και βρίσκεται στην προέκταση της ES .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6413
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογωνιακά θέματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 27, 2018 6:55 pm

Αγνοώ προσωρινά το ημικύκλιο αλλά θα δείξω ότι:

1. το σημείο τομής M των ES\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB καθώς και

2. ο πόδας P της διχοτόμου AP του \vartriangle ADB ανήκουν στο ημικύκλιο διαμέτρου DS.

3. Το δε σημείο M επί πλέον είναι μέσο του AB.

Έχω : \left\{ \begin{gathered} 
  \tan 2\omega  = \frac{{CD}}{{CE}} = \frac{4}{3} \hfill \\ 
  \tan 2\omega  = \frac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\tan \omega  = \frac{1}{2}}

Άρα MB = MA = 2b δηλαδή το M μέσο του AB και προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα BEM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AMD\,\, είναι όμοια

γιατί έχουν κάθετες πλευρές ανάλογες. Αναγκαστικά θα είναι έτσι \widehat {EMD} = 90^\circ και άρα το M ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου DS.
ορθογωνιακά θέματα_οκ.png
ορθογωνιακά θέματα_οκ.png (26.76 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές
Οι εντός εναλλάξ γωνίες \widehat {EBD}\,\,\kappa \alpha \iota \,\widehat {ADB}\, (των παραλλήλων BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD) θα έχουν τις διχοτόμους τους : BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DP παράλληλες

και άρα \boxed{\widehat \theta  = \widehat {{\theta _1}}}\,\,\,(1).

Από την άλλη μεριά σε κάθε τρίγωνο η γωνία ύψους και διχοτόμου ισούται με τη θετική ημιδιαφορά των γωνιών της πλευρά που καταλήγουν.

Έτσι \widehat \phi  = \widehat \theta  - \widehat \omega  \Leftrightarrow \boxed{\widehat \theta  = \widehat \phi  + \widehat \omega }\,\,(2) .

Αλλά από το εγγράψιμο τετράπλευρο DMCE

έχω : \widehat {MDC} = \widehat \omega που λόγω της (2) δίδει : \widehat \phi  + \widehat {MDC} = \widehat \phi  + \widehat \omega  = \widehat \theta  \Rightarrow \boxed{\widehat {MDS} = \widehat {{\theta _1}}}

που μας εξασφαλίζει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ADP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MDS είναι όμοια άρα :

\boxed{\widehat x = \widehat y} δηλαδή το τετράπλευρο DPMS είναι εγγράψιμο και επομένως το P ανήκει κι αυτό στο ημικύκλιο διαμέτρου DS.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1571
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογωνιακά θέματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Δεκ 28, 2018 11:47 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 9:55 am
Ορθογωνιακά θέματα.pngΣτο ορθογώνιο ABCD , με BC=b , AB=4b , προεκτείνω την BC κατά τμήμα CE=3b .

Το S είναι το έγκεντρο του τριγώνου DBE και ο κύκλος διαμέτρου DS , τέμνει την πλευρά AB

στα σημεία P,M . Δείξτε ότι η DP είναι η διχοτόμος της \widehat{ADC} και επίσης ότι το σημείο M είναι

το μέσο της AB και βρίσκεται στην προέκταση της ES .

Έστω \displaystyle ES \cap AB = M και \displaystyle MH \bot ED.Τότε \displaystyle \boxed{MH = MB} και \displaystyle EH = EB = 4b

Επειδή \displaystyle ED = 5d θα είναι \displaystyle DH = b άρα ,από τα ίσα τρίγωνα \displaystyle DHM,DAM \Rightarrow \displaystyle \boxed{MH = MA}

Έτσι, \displaystyle M είναι μέσον της \displaystyle AB κι επειδή \displaystyle DM,EM διχοτόμοι των \displaystyle \angle HMA,HMB \Rightarrow \angle DME = {90^0}

Άρα ο κύκλος διαμέτρου \displaystyle DS περνά από το \displaystyle M

Επειδή \displaystyle PD \bot PS και \displaystyle SDPM εγγράψιμο ,οι γωνίες \displaystyle x είναι ίσες κι αν \displaystyle \angle EDS = \angle SDB = y,θα είναι \displaystyle \angle PDM = y

\displaystyle \angle PDB = \angle y + MDB = \angle SDB + MDB = x άρα \displaystyle DP διχοτόμος της \displaystyle \angle ADB
O.Θ.png
O.Θ.png (23.66 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7909
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθογωνιακά θέματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 28, 2018 6:59 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 9:55 am
Ορθογωνιακά θέματα.pngΣτο ορθογώνιο ABCD , με BC=b , AB=4b , προεκτείνω την BC κατά τμήμα CE=3b .

Το S είναι το έγκεντρο του τριγώνου DBE και ο κύκλος διαμέτρου DS , τέμνει την πλευρά AB

στα σημεία P,M . Δείξτε ότι η DP είναι η διχοτόμος της \widehat{ADB} και επίσης ότι το σημείο M είναι

το μέσο της AB και βρίσκεται στην προέκταση της ES .
Έστω ότι οι ED, BA τέμνονται στο H και οι ES, AB στο M.
Ορθογωνιακά θέματα.png
Ορθογωνιακά θέματα.png (17.46 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
Θα δείξω ότι το M είναι μέσο του AB και σημείο του κύκλου διαμέτρου DS:

Επειδή AD||BE θα είναι \displaystyle DH = \frac{{5b}}{3},AH = \frac{{4b}}{3} \Rightarrow EH = \frac{{20b}}{3},BH = \frac{{16b}}{3} και λόγω της διχοτόμου EM, είναι

\displaystyle MB = \frac{{BH \cdot BE}}{{BE + EH}} = \frac{{\frac{{16b}}{3} \cdot 4b}}{{4b + \frac{{20b}}{3}}} = 2b, δηλαδή το M είναι μέσο του AB. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο διαδοχικά στα

τρίγωνα MBE, EDM παίρνω \displaystyle E{M^2} = 20{b^2},D{M^2} = 5{b^2} \Rightarrow E{M^2} + D{M^2} = 25{b^2} = D{E^2} \Leftrightarrow E\widehat MD = 90^\circ

που σημαίνει ότι το M είναι σημείο του κύκλου διαμέτρου DS. Αν ο κύκλος επανατέμνει την AB στο P,

θα δείξω ότι η DP διχοτομεί τη γωνία A\widehat DB}:

\displaystyle D\widehat SP = D\widehat MA \Leftrightarrow \omega  = A\widehat DM \Leftrightarrow \tan \omega  = \tan (A\widehat DM) = 2

\displaystyle \tan 2\omega  = \frac{{2 \cdot 2}}{{1 - {2^2}}} =  - \frac{4}{3} =  - \tan \varphi  = \tan (A\widehat DE) \Rightarrow \omega  = \frac{{A\widehat DE}}{2}

κι επειδή η DS διχοτομεί τη γωνία B\widehat DE, η DP θα διχοτομεί την A\widehat DB}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες