Καρνοτική επιστροφή

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10406
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Καρνοτική επιστροφή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 25, 2018 8:21 pm

Καρνοτική  επιστροφή.png
Καρνοτική επιστροφή.png (7.3 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές
Σημείο S κινείται στο εσωτερικό οξυγωνίου τριγώνου \displaystyle ABC . Ονομάζουμε P,Q,T τις προβολές του

στις πλευρές BC,CA,AB αντίστοιχα . Κατά το θεώρημα είναι : BP^2+CQ^2+AT^2=....

α) Δείξτε ότι αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο , τότε το BP+CQ+AT είναι σταθερό .

β) Στο τυχαίο τρίγωνο βρείτε το S , για το οποίο το BP^2+CQ^2+AT^2 ελαχιστοποιείται .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10966
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Καρνοτική επιστροφή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 25, 2018 8:53 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 25, 2018 8:21 pm
Σημείο S κινείται στο εσωτερικό οξυγωνίου τριγώνου \displaystyle ABC . Ονομάζουμε P,Q,T τις προβολές του

στις πλευρές BC,CA,AB αντίστοιχα . Κατά το θεώρημα είναι : BP^2+CQ^2+AT^2=....

α) Δείξτε ότι αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο , τότε το BP+CQ+AT είναι σταθερό .

β) Στο τυχαίο τρίγωνο βρείτε το S , για το οποίο το BP^2+CQ^2+AT^2 ελαχιστοποιείται .
.
Το Θεώρημα Carnot λέει BP^2+CQ^2+AT^2=PC^2+QA^2+TB^2 .

α) Άρα σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς a μεταφέροντας το δεξί μέλος, αριστερά και παίρνοντας διαφορά τετραγώνων έχουμε

\displaystyle{0 = (BP-PC) a + (CQ-QA)a+ (AT-TB)a} οπότε \displaystyle{BP +CQ+AT = PC+QA+TB} και άρα το καθένα 3a/2 αφού έχουν άθροισμα 3a.

β) Αν θέσουμε BP=x, CQ=y, AT=z το Carnot γράφεται x^2+y^2+z^2=(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2, ισοδύναμα a^2+b^2+c^2=2ax+2by+2cz.

Άρα

\displaystyle{a^2+b^2+c^2=2ax+2by+2cz \le 2 \sqrt {a^2+b^2+c^2} \sqrt {x^2+y^2+z^2}}, δηλαδή \displaystyle{a^2+b^2+c^2} \le 4(x^2+y^2+z^2)}} με ισότητα αν και μόνον αν x=a/2, y=b/2, z=c/2. Που σημαίνει ότι το ελάχιστο λαμβάνεται όταν οι προβολές του S είναι τα μέσα των πλευρών και άρα S το περίκεντρο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες