Λόγοι ... αντί δώρων

KARKAR · #1

Για τα χρόνια πολλά σ'όλους και ιδιαίτερα στους εορτάζοντες :

: Λόγοι αντί δώρου.png (18.47 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές

Προεκτείνουμε τη διάμεσο

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ , κατά τμήμα $MN=\dfrac{AM}{4}$ . Οι ημιευθείες

BN,CN

τέμνουν τις προεκτάσεις των AC,AB

στα σημεία C',B'

αντίστοιχα.

α) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{BC}{B'C'}$ ... β) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(BB'N)}{(MB'C')}$

Ορέστης Λιγνός · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 25, 2018 11:22 am
Για τα χρόνια πολλά σ'όλους και ιδιαίτερα στους εορτάζοντες :
Λόγοι αντί δώρου.png
Προεκτείνουμε τη διάμεσο , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , κατά τμήμα $MN=\dfrac{AM}{4}$ . Οι ημιευθείες

τέμνουν τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα.

α) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{BC}{B'C'}$ ... β) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(BB'N)}{(MB'C')}$

Καλημέρα Θανάση και Χρόνια Πολλά σε όλους!

α) Εφαρμόζουμε το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle ANC'$ με διατέμνουσα $\overline{BMC}$ , και προκύπτει (χρησιμοποιούμε ότι AM=4MN

) $\dfrac{CA}{CC'}=4\dfrac{BN}{BC'}$ (1).

Ξανά, από το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle BCC'$ με διατέμνουσα $\overline{NMA}$ και προκύπτει (χρησιμοποιούμε ότι BM=MC

) ότι $\dfrac{NB}{NC'}=\dfrac{AC}{AC'}$ (2).

Θέτουμε (λίγη Άλγεβρα τώρα

) $BN=m, NC'=n, AC=k, CC'=\ell$ και οι (1), (2) γίνονται $\dfrac{k}{\ell}=\dfrac{4m}{m+n}$ (3) και $\dfrac{m}{n}=\dfrac{k}{k+\ell}$ (4).

Έστω τώρα $\dfrac{m}{n}=s , \dfrac{k}{\ell}=t$ και οι (3), (4) γίνονται $t=\dfrac{4s}{s+1}$ και $s=\dfrac{t}{t+1}$ .
Λύνοντας τώρα το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων και προκύπτει $s=\dfrac{3}{5}, t=\dfrac{3}{2}$ .

Επομένως, $\dfrac{BN}{NC'}=\dfrac{3}{5}$ και $\dfrac{AC}{CC'}=\dfrac{3}{2}$ .

Όμοια, $\dfrac{CN}{NB'}=\dfrac{3}{5}$ και $\dfrac{AB}{BB'}=\dfrac{3}{2}$ .

Οπότε, $BC \parallel B'C'$ (αφού $\dfrac{AC}{CC'}=\dfrac{AB}{BB'}=\dfrac{3}{2}$ ) και άρα τα τρίγωνα $\vartriangle ABC,\vartriangle AB'C'$ είναι όμοια, οπότε $\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{3}{5} \Rightarrow \boxed{\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{3}{5}}$ .

(β) Είναι (αφού $BC \parallel B'C'$ ) $\dfrac{(BB'N)}{(B'MC')}=\dfrac{(BB'N)}{(B'BC')}=\dfrac{BN}{BC'}=\dfrac{3}{8}$ (αφού $NC'=\dfrac{5}{3}NB$ από το (α) ερώτημα)

Τελικά, $\boxed{\dfrac{(BB'N)}{(B'MC')}=\dfrac{3}{8}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 25, 2018 11:22 am
Για τα χρόνια πολλά σ'όλους και ιδιαίτερα στους εορτάζοντες : Λόγοι αντί δώρου.png

Προεκτείνουμε τη διάμεσο , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , κατά τμήμα $MN=\dfrac{AM}{4}$ . Οι ημιευθείες

τέμνουν τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα.

α) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{BC}{B'C'}$ ... β) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(BB'N)}{(MB'C')}$

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Από το

φέρνω παράλληλη στη

που τέμνει τις AB, AC

στα

και κάθετη στη

που τέμνει τις BC, B'C'

στα

αντίστοιχα.

: Αντίδωρα.png (14.56 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

α) $\displaystyle \frac{{BM}}{{TN}} =\frac{AM}{AN}= \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{TN}} = \frac{8}{5} = \frac{{B'C}}{{B'N}} \Leftrightarrow \frac{{NC}}{{B'N}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{3}{5}}$

β) Από το α) προκύπτει ότι $\displaystyle \frac{{(BNC)}}{{(B'NC')}} = \frac{9}{{25}} \Leftrightarrow (B'NC') = \frac{{25}}{9}(BNC).$ Αλλά, είναι γνωστό ότι

$\displaystyle {(BB'N)^2} = (BNC)(B'NC') = {\left( {\frac{5}{3}(BNC)} \right)^2} \Leftrightarrow (BB'N) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{B'C'}}{{BC}} \cdot BC \cdot PN = \frac{1}{2}B'C' \cdot PN$

$\displaystyle \frac{{(BB'N)}}{{(MB'C')}} = \frac{{B'C' \cdot PN}}{{B'C' \cdot PQ}} = \frac{{PN}}{{PQ}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(BB'N)}}{{(MB'C')}} = \frac{3}{8}}$

Στο β) ερώτημα ακολούθησα δύσκολη πορεία. Η λύση του Ορέστη είναι πολύ καλύτερη

#4

Για οποιοδήποτε σημείου

της διαμέσου λόγω του Θ. Ceva

θα είναι

α) Ας είναι

το σημείο τομής της

με τη

. Θέτω $MN = k\,\,,\,k > 0$ και NO = x

. Θα είναι, λόγω κεντρικής δέσμης, το

μέσο του

και η τετράδα

$(A,N\backslash M,O)$ αρμονική οπότε: $\dfrac{k}{x} = \dfrac{{4k}}{{5k + x}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{5}{3}k \Leftrightarrow \dfrac{x}{k} = \dfrac{5}{3}}\,\,(1)$ ,

Άμεσες συνέπειες : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{MN}}{{NO}} = \frac{3}{5} \hfill \\ \frac{{BB'}}{{BA}} = \frac{{CC'}}{{CA}} = \frac{{OM}}{{MA}} = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,(2)$

: Λόγοι αντί δώρων.png (29.19 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

: β) Θεωρώ μονάδα μέτρησης όλων των εμβαδών το $\boxed{(BMN) = T}$ .

Έτσι $\left\{ \begin{gathered} {E_1} = (BB'N) = \frac{2}{3}(ABN) = \frac{2}{3}5T = \frac{{10}}{3}T \hfill \\ {E_2} = (MB'C') = 2(OCC') = 2 \cdot \frac{2}{3}(AOC) = \frac{4}{3}(ABO) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{20}}{3}T \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Συνεπώς : $\boxed{\frac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \frac{3}{8}}$

Λόγοι ... αντί δώρων

Λόγοι ... αντί δώρων

Re: Λόγοι ... αντί δώρων

Re: Λόγοι ... αντί δώρων

Re: Λόγοι ... αντί δώρων

Μέλη σε σύνδεση