Λόγοι ... αντί δώρων

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10219
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λόγοι ... αντί δώρων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 25, 2018 11:22 am

Για τα χρόνια πολλά σ'όλους και ιδιαίτερα στους εορτάζοντες :
Λόγοι  αντί  δώρου.png
Λόγοι αντί δώρου.png (18.47 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
Προεκτείνουμε τη διάμεσο AM , τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα MN=\dfrac{AM}{4} . Οι ημιευθείες

BN,CN τέμνουν τις προεκτάσεις των AC,AB στα σημεία C',B' αντίστοιχα.

α) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{BC}{B'C'} ... β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{(BB'N)}{(MB'C')}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1351
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Λόγοι ... αντί δώρων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Δεκ 25, 2018 12:51 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 25, 2018 11:22 am
Για τα χρόνια πολλά σ'όλους και ιδιαίτερα στους εορτάζοντες :
Λόγοι αντί δώρου.png
Προεκτείνουμε τη διάμεσο AM , τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα MN=\dfrac{AM}{4} . Οι ημιευθείες

BN,CN τέμνουν τις προεκτάσεις των AC,AB στα σημεία C',B' αντίστοιχα.

α) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{BC}{B'C'} ... β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{(BB'N)}{(MB'C')}
Καλημέρα Θανάση και Χρόνια Πολλά σε όλους!

α) Εφαρμόζουμε το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle ANC' με διατέμνουσα \overline{BMC}, και προκύπτει (χρησιμοποιούμε ότι AM=4MN) \dfrac{CA}{CC'}=4\dfrac{BN}{BC'} (1).

Ξανά, από το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle BCC' με διατέμνουσα \overline{NMA} και προκύπτει (χρησιμοποιούμε ότι BM=MC) ότι \dfrac{NB}{NC'}=\dfrac{AC}{AC'} (2).

Θέτουμε (λίγη Άλγεβρα τώρα :lol: ) BN=m, NC'=n, AC=k, CC'=\ell και οι (1), (2) γίνονται \dfrac{k}{\ell}=\dfrac{4m}{m+n} (3) και \dfrac{m}{n}=\dfrac{k}{k+\ell} (4).

Έστω τώρα \dfrac{m}{n}=s ,  \dfrac{k}{\ell}=t και οι (3), (4) γίνονται t=\dfrac{4s}{s+1} και s=\dfrac{t}{t+1}.
Λύνοντας τώρα το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων και προκύπτει s=\dfrac{3}{5}, t=\dfrac{3}{2}.

Επομένως, \dfrac{BN}{NC'}=\dfrac{3}{5} και \dfrac{AC}{CC'}=\dfrac{3}{2}.

Όμοια, \dfrac{CN}{NB'}=\dfrac{3}{5} και \dfrac{AB}{BB'}=\dfrac{3}{2}.

Οπότε, BC \parallel B'C' (αφού \dfrac{AC}{CC'}=\dfrac{AB}{BB'}=\dfrac{3}{2}) και άρα τα τρίγωνα \vartriangle ABC,\vartriangle AB'C' είναι όμοια, οπότε \dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{3}{5} \Rightarrow \boxed{\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{3}{5}}.

(β) Είναι (αφού BC \parallel B'C') \dfrac{(BB'N)}{(B'MC')}=\dfrac{(BB'N)}{(B'BC')}=\dfrac{BN}{BC'}=\dfrac{3}{8} (αφού NC'=\dfrac{5}{3}NB από το (α) ερώτημα)

Τελικά, \boxed{\dfrac{(BB'N)}{(B'MC')}=\dfrac{3}{8}}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7446
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγοι ... αντί δώρων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 25, 2018 1:45 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 25, 2018 11:22 am
Για τα χρόνια πολλά σ'όλους και ιδιαίτερα στους εορτάζοντες : Λόγοι αντί δώρου.png

Προεκτείνουμε τη διάμεσο AM , τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα MN=\dfrac{AM}{4} . Οι ημιευθείες

BN,CN τέμνουν τις προεκτάσεις των AC,AB στα σημεία C',B' αντίστοιχα.

α) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{BC}{B'C'} ... β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{(BB'N)}{(MB'C')}
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ :santalogo:

Από το N φέρνω παράλληλη στη BC που τέμνει τις AB, AC στα T, S και κάθετη στη BC που τέμνει τις BC, B'C' στα P, Q αντίστοιχα.
Αντίδωρα.png
Αντίδωρα.png (14.56 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές
α) \displaystyle \frac{{BM}}{{TN}} =\frac{AM}{AN}= \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{TN}} = \frac{8}{5} = \frac{{B'C}}{{B'N}} \Leftrightarrow \frac{{NC}}{{B'N}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{3}{5}}

β) Από το α) προκύπτει ότι \displaystyle \frac{{(BNC)}}{{(B'NC')}} = \frac{9}{{25}} \Leftrightarrow (B'NC') = \frac{{25}}{9}(BNC). Αλλά, είναι γνωστό ότι

\displaystyle {(BB'N)^2} = (BNC)(B'NC') = {\left( {\frac{5}{3}(BNC)} \right)^2} \Leftrightarrow (BB'N) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{B'C'}}{{BC}} \cdot BC \cdot PN = \frac{1}{2}B'C' \cdot PN

\displaystyle \frac{{(BB'N)}}{{(MB'C')}} = \frac{{B'C' \cdot PN}}{{B'C' \cdot PQ}} = \frac{{PN}}{{PQ}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{(BB'N)}}{{(MB'C')}} = \frac{3}{8}}

Στο β) ερώτημα ακολούθησα δύσκολη πορεία. Η λύση του Ορέστη είναι πολύ καλύτερη :clap2:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6132
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγοι ... αντί δώρων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 25, 2018 1:47 pm

Για οποιοδήποτε σημείου N της διαμέσου λόγω του Θ. Ceva θα είναι BC//B'C'

α) Ας είναι O το σημείο τομής της AM με τη B'C'. Θέτω MN = k\,\,,\,k > 0 και NO = x. Θα είναι, λόγω κεντρικής δέσμης, το O μέσο του B'C' και η τετράδα

(A,N\backslash M,O) αρμονική οπότε: \dfrac{k}{x} = \dfrac{{4k}}{{5k + x}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{5}{3}k \Leftrightarrow \dfrac{x}{k} = \dfrac{5}{3}}\,\,(1) ,

Άμεσες συνέπειες : \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{MN}}{{NO}} = \frac{3}{5} \hfill \\ 
  \frac{{BB'}}{{BA}} = \frac{{CC'}}{{CA}} = \frac{{OM}}{{MA}} = \frac{2}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\,\,\,\,(2)
Λόγοι αντί  δώρων.png
Λόγοι αντί δώρων.png (29.19 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές
: β) Θεωρώ μονάδα μέτρησης όλων των εμβαδών το \boxed{(BMN) = T} .

Έτσι \left\{ \begin{gathered} 
  {E_1} = (BB'N) = \frac{2}{3}(ABN) = \frac{2}{3}5T = \frac{{10}}{3}T \hfill \\ 
  {E_2} = (MB'C') = 2(OCC') = 2 \cdot \frac{2}{3}(AOC) = \frac{4}{3}(ABO) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{20}}{3}T \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Συνεπώς : \boxed{\frac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \frac{3}{8}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες