Ανάπτυγμα περιμέτρου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10394
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανάπτυγμα περιμέτρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 23, 2018 5:26 pm

Ανάπτυγμα  περιμέτρου.png
Ανάπτυγμα περιμέτρου.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές
Στην προέκταση της βάσης a τριγώνου \displaystyle ABC , με προσκείμενες γωνίες \hat{B}=60^0 , \hat{C}=40^0 ,

υπάρχει σημείο S , τέτοιο ώστε \widehat{CAS}=30^0 . Δείξτε ότι : CS=a+b+c



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4265
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ανάπτυγμα περιμέτρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Δεκ 23, 2018 6:37 pm

Καλησπέρα σε όλους. Είναι από τις λύσεις που δεν σε κάνουν περήφανο για τη φοβερή έμπνευση, αλλά ... τη δουλειά της την κάνει...
(Άσε που δεν χρειάζεται να πειράζεις και το σχήμα...) :mrgreen:

Ανάπτυγμα  περιμέτρου.png
Ανάπτυγμα περιμέτρου.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές

Από Ν. ημιτόνων στο ABC είναι  \displaystyle \frac{a}{{\eta \mu 80^\circ }} = \frac{b}{{\eta \mu 60^\circ }} = \frac{c}{{\eta \mu 40^\circ }} = \frac{{a + b + c}}{{\eta \mu 80^\circ  + \eta \mu 60^\circ  + \eta \mu 40^\circ }} .

Από Ν. ημιτόνων στο ACS είναι  \displaystyle \frac{{CS}}{{\eta \mu 30^\circ }} = \frac{b}{{\eta \mu 10^\circ }} .

Αρκεί  \displaystyle \frac{{\left( {\eta \mu 80^\circ  + \eta \mu 40^\circ } \right) + \eta \mu 60^\circ }}{{\eta \mu 60^\circ }} = \frac{{\eta \mu 30^\circ }}{{\eta \mu 10^\circ }}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{2\eta \mu 60^\circ  \cdot \sigma \upsilon \nu 20^\circ  + \eta \mu 60^\circ }}{{\eta \mu 60^\circ }} = \frac{{\eta \mu 30^\circ }}{{\eta \mu 10^\circ }}

 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\eta \mu 10^\circ \sigma \upsilon \nu 20^\circ  + \eta \mu 10^\circ  = \eta \mu 30^\circ

 \displaystyle  \Leftrightarrow \eta \mu 30^\circ  - \eta \mu 10^\circ  + \eta \mu 10^\circ  = \eta \mu 30^\circ , που ισχύει.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7698
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανάπτυγμα περιμέτρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 23, 2018 8:03 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 23, 2018 5:26 pm
Ανάπτυγμα περιμέτρου.pngΣτην προέκταση της βάσης a τριγώνου \displaystyle ABC , με προσκείμενες γωνίες \hat{B}=60^0 , \hat{C}=40^0 ,

υπάρχει σημείο S , τέτοιο ώστε \widehat{CAS}=30^0 . Δείξτε ότι : CS=a+b+c
Ανάπτυγμα περιμέτρου.png
Ανάπτυγμα περιμέτρου.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\widehat A = 2\widehat C \Leftrightarrow {a^2} = {c^2} + bc\\ 
\\ 
{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos 80^\circ  
\end{array} \right. \Rightarrow bc = {b^2} - 2bc\sin 10^\circ  \Leftrightarrow \boxed{\sin 10^\circ  = \frac{{b - c}}{2c}} (1)

Νόμος ημιτόνων στο ACS: \displaystyle CS = \frac{b}{{2\sin 10^\circ }}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} CS = \frac{{bc}}{{b - c}}

\displaystyle \widehat B = 60^\circ  \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} + {c^2} - ac \Leftrightarrow {b^2} - {c^2} = a(a - c) \Leftrightarrow \frac{{b - c}}{c} = \frac{{a(a - c)}}{{c(b + c)}} = \frac{{a - c}}{a} \Leftrightarrow \boxed{CS = \frac{{ab}}{{a - c}}}

Αλλά, \displaystyle {a^2} - {c^2} - bc = 0 \Leftrightarrow ab + {a^2} - {c^2} - bc = ab \Leftrightarrow (a - c)(a + b + c) = ab \Leftrightarrow \boxed{CS=a+b+c}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6270
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανάπτυγμα περιμέτρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Δεκ 23, 2018 11:24 pm

Έχω το \vartriangle ABC \to (80^\circ ,60^\circ ,40^\circ ) και προεκτείνω τη BC = a πέραν των B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C κατά τμήματα : BD = AB = c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE\,\, = CA = b.

Αν οι μεσοκάθετοι των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC τμηθούν στο O προφανώς OA = OD = OE = R

και από τη σχέση εγγεγραμμένης με αντίστοιχο επίκεντρο προκύπτουν :
Ανάπτυγμα περιμέτρου.png
Ανάπτυγμα περιμέτρου.png (53.13 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {COD} = 100^\circ  \hfill \\ 
  \widehat {AOD} = 2\widehat {AED} = 40^\circ  \hfill \\ 
  \widehat {AOE} = 2\widehat {ADE} = 60^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. με άμεσες συνέπειες :

Το μεν τρίγωνο AOE να είναι ισόπλευρο , το δε τετράπλευρο DOCA να είναι ισοσκελές τραπέζιο και αφού το τρίγωνο EAS \to (10^\circ ,160^\circ ,10^\circ ) θα έχω:

SE = EA = OA = DC \Rightarrow CS = a + b + c.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1544
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ανάπτυγμα περιμέτρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Δεκ 24, 2018 9:20 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 23, 2018 5:26 pm
Ανάπτυγμα περιμέτρου.pngΣτην προέκταση της βάσης a τριγώνου \displaystyle ABC , με προσκείμενες γωνίες \hat{B}=60^0 , \hat{C}=40^0 ,

υπάρχει σημείο S , τέτοιο ώστε \widehat{CAS}=30^0 . Δείξτε ότι : CS=a+b+c

Καλημέρα και καλά Χριστούγεννα σε όλους.

Έστω σημείο \displaystyle D επί της \displaystyle AC με \displaystyle CD = CB = a και σημείο \displaystyle E επί της \displaystyle AB με \displaystyle AE = a + b + c

Επιπλέον ,θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABZ

Είναι, \displaystyle \angle CDB = \angle CBD = {20^0},άρα \displaystyle \angle DBA = {80^0} , επομένως \displaystyle AD = BD = BE = a + b

και \displaystyle \angle BED = {40^0} = \angle ACB \Rightarrow BCDE εγγράψιμο άρα \displaystyle \angle BEC = {20^0} \Rightarrow AE = CE = a + b + c

Η \displaystyle DZ είναι μεσοκάθετος της \displaystyle AB άρα\displaystyle \angle ADZ = {10^0} \Rightarrow AZDS εγγράψιμο\displaystyle  \Rightarrow \angle CDS = {120^0}

Έτσι,τα τρίγωνα \displaystyle BCE,CSD έχουν \displaystyle BC = CD = a και τις προσκείμενες γωνίες ίσες άρα είναι ίσα

Επομένως \displaystyle \boxed{CS = CE = AE = a + b + c}
ανάπτυγμα περιμέτρου.png
ανάπτυγμα περιμέτρου.png (26.45 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1761
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ανάπτυγμα περιμέτρου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Δεκ 28, 2018 1:25 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 23, 2018 5:26 pm
Ανάπτυγμα περιμέτρου.pngΣτην προέκταση της βάσης a τριγώνου \displaystyle ABC , με προσκείμενες γωνίες \hat{B}=60^0 , \hat{C}=40^0 ,

υπάρχει σημείο S , τέτοιο ώστε \widehat{CAS}=30^0 . Δείξτε ότι : CS=a+b+c
Κατασκευάζω τα τμήματα A\Theta =AB=b,CE=BC=a


Οπότε \hat{A\Theta B}=40^{0}=\hat{ACB},B\Theta =BC=a,BC=CE=a,\hat{BAE}=\hat{ABE}=80^{0},BE=a+b


ακόμη EI=BE=b+a,\hat{EBI}=\hat{EIB}=10^{0},


συνεπώς το τετράπλευρο ABIS είναι εγγράψιμο σε κύκλο και ES=EI=EA=b+a,

Τα τρίγωνα BE\Theta ,CES είναι ίσα γιατί \hat{EB\Theta }=\hat{CES}=120^{0},CE=A\Theta ,BE=ES

Αρα E\Theta =CS,CS=a+b+c




Γιάννης
Συνημμένα
Ανάπτυγμα περιμέτρου.png
Ανάπτυγμα περιμέτρου.png (125.55 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης