Η τέταρτη πλευρά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12533
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η τέταρτη πλευρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 22, 2018 12:22 pm

Η  τέταρτη  πλευρά.png
Η τέταρτη πλευρά.png (12.91 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές
Σε κύκλο ακτίνας 7 , εγγράψαμε τετράπλευρο ABCD , του οποίου γνωρίζουμε

τα μήκη των τριών πλευρών και φυσικά αναζητούμε το μήκος της CD .

Υπάρχει και εντυπωσιακότερη λύση από αυτήν που βρήκατε :!:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10445
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η τέταρτη πλευρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 22, 2018 2:12 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 22, 2018 12:22 pm
Η τέταρτη πλευρά.pngΣε κύκλο ακτίνας 7 , εγγράψαμε τετράπλευρο ABCD , του οποίου γνωρίζουμε

τα μήκη των τριών πλευρών και φυσικά αναζητούμε το μήκος της CD .

Υπάρχει και εντυπωσιακότερη λύση από αυτήν που βρήκατε :!:
Η 4η πλευρά.png
Η 4η πλευρά.png (18.24 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές
\displaystyle 2 = 2R\sin \varphi ,13 = 2R\sin \omega  \Rightarrow \sin \varphi  = \frac{1}{7},\sin \omega  = \frac{{13}}{{14}} \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{4\sqrt 3 }}{7},\cos \omega  = \frac{{3\sqrt 3 }}{{14}}

\displaystyle \cos D = \cos (\omega  + \varphi ) = \frac{{23}}{{98}} = 2{\cos ^2}\frac{D}{2} - 1 \Leftrightarrow \cos \frac{D}{2} = \frac{{11}}{{14}} = \cos (A\widehat DE)

Άρα η AE διχοτομεί τη γωνία A\widehat DC} και \boxed{x=11}

Αναζητώ όμως την εντυπωσιακή λύση.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7903
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η τέταρτη πλευρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 22, 2018 6:43 pm

Η τέταρτη πλευρά.png
Η τέταρτη πλευρά.png (47.52 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές

Ένα μεγαλοπρεπές ισόπλευρο και όχι μόνο


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1427
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Η τέταρτη πλευρά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Δεκ 23, 2018 2:36 am

Καλημέρα στους φίλους!
Η..διπρόσωπη τέταρτη πλευρά!.PNG
Η..διπρόσωπη τέταρτη πλευρά!.PNG (12.58 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές
Θεωρούμε τον κύκλο (0,7) και τις χορδές AB=2...AD=11 .

Για την BD οι Νόμοι μας δίνουν BD=2R\eta \mu A=14\eta \mu A...(1) και BD^{2}=..=125-44\sigma \upsilon \nu A...\left ( 2 \right ).

Προκύπτει 196\eta \mu ^{2}A=125-44\sigma \upsilon \nu A \Leftrightarrow 196\sigma \upsilon \nu ^{2}A-44\sigma \upsilon \nu A-71=0

με δεκτή λύση \sigma \upsilon \nu A=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \sigma \upsilon \nu C=\dfrac{1}{2} και BD^{2}=147

Με CD=x ο Ν.Σ στο τρίγωνο BCD μας δίνει x^{2}+13^{2}-13x=147\Leftrightarrow x^{2}-13x+22=0 οπότε CD=11 αλλά και CD=2.

Μάλλον την τελευταία εννοεί ο Θανάσης ως εντυπωσιακότερη από την πρώτη που ..(*) ..(υπο)δεικνύει στο σχήμα!

(*) Είτε είναι έτσι , είτε όχι.. :) .. δεν έχουν άδικο όσοι θεωρούν τον KARKAR ως Αλεπού του κάμπου!
Φιλικά πάντοτε , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12533
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Η τέταρτη πλευρά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 23, 2018 8:04 am

Η  τέταρτη  πλευρά.png
Η τέταρτη πλευρά.png (19.82 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές
Το εντυπωσιακό είναι ότι η γωνία \widehat{BAD} είναι =120^0 , κάτι που αν το "ανακαλύψουμε "

βρίσκουμε ότι BD=7\sqrt{3} και εν συνεχεία βρίσκουμε την x με νόμο συνημιτόνων στο CBD , ( \hat{C}=60^0 ) .

Μπορούμε πάντως να υπολογίσουμε την BD με τη βοήθεια του Πτολεμαίου στο ABA'D .

ΥΓ1 : Η λύση του Γ. Βισβίκη είναι επίσης εντυπωσιακή . Η λύση του Νίκου θα μπορούσε να χαρακτηριστεί

εντυπωσιακότατη αλλά θέλει νομίζω δυο λόγια ακόμη για να είναι κατανοητή στο ευρύ κοινό .

Η λύση του Γ. Μήτσιου είναι περίπου αυτή που είχα στο μυαλό :clap2:

ΥΓ2 : Τα όρη : Άγραφα , Χάσια , Όλυμπος (τμήμα) , Όσσα , Πήλιο είναι -μεγάλα- βουνά της Θεσσαλίας .

Μεγάλο ποσοστό των Θεσσαλών είναι ορεινοί ( όπως και ο υποφαινόμενος ) .

Συνεπώς ο όρος "αλεπού του κάμπου " απορρίπτεται ! Αν θέλετε σώνει και καλά να

με "κακοχαρακτηρίσετε" , θα μου άρεσε το "τσακάλι των Αγράφων " :oops: :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης