Παράλληλες ευθείες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 195
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Παράλληλες ευθείες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Παρ Δεκ 21, 2018 3:43 pm

Σε ένα τραπέζιο ABCD με AB//CD ΚΑΙ BD=BC φέρνουμε την CE ώστε \widehat{ECD}=\widehat{DCA} και τα σημεία B,D,E να είναι συνευθειακά. Αν οι διαγώνιες του ABCD τέμνονται στο O και το L κοινή τομή των AE,DC να αποδείξετε LO//CE



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 797
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Παράλληλες ευθείες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Δεκ 21, 2018 5:11 pm

Έστω ότι η κάθετη από το C στην CD τέμνει την BD στο K.

Παρατηρούμε πως αφού BD=BC, το B είναι το μέσο του DK.

Αφού BA//CD, η BA περνάει από το μέσο του CK και ταυτόχρονα BA\perp CK. Συνεπώς η BA είναι μεσοκάθετος του CK και επομένως η BA είναι διχοτόμος της \widehat{CAK}, δηλαδή \widehat{CAK}=2\widehat{CAB}=2\widehat{DCA}=\widehat{DCA}+\widehat{ECD}=\widehat{ACE}.

Συνεπώς είναι AK//CE.

Αφού η CD είναι διχοτόμος της \widehat{OCE} και CK\perp CD, προκύπτει ότι η τετράδα (E, O, D, K) είναι αρμονική.

Άρα η δέσμη A(E, O, D, K) είναι αρμονική , δηλαδή η δέσμη AE, AC, AD, AK.

Αφού όμως AK//CE, προκύπτει ότι η AD διχοτομεί την CE.

Εύκολα τώρα προκύπτει ότι αφού στο τρίγωνο AEC οι CL, EO συντρέχουν με την διάμεσο AD στο D, τότε LO//CE (κλασσικό λήμμα)


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες