Συμμετροδιάμεσος σε ειδικό τρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 772
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Συμμετροδιάμεσος σε ειδικό τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Δευ Δεκ 17, 2018 11:25 am

GEOMETRIA220-FB2576.png
GEOMETRIA220-FB2576.png (33.63 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές
Στην αναζήτηση σημείου P, της βάσης BC, τριγώνου ABC, ώστε η AP να είναι η Α-συμμετροδιάμεσος του ABC,

"ανακαλύψαμε" ότι το P είναι το μέσον του τμήματος DM, όπου D η ορθή προβολή του A στην BC και M το μέσον της BC,

υπό την προϋπόθεση όμως ότι AM=\dfrac{\sqrt3}{2}BC

α. αποδείξτε τον ισχυρισμό μας

β. δείξτε ότι για όλα τα τρίγωνα ABC, με σταθερή βάση BC, που έχουν την κορυφή τους A στον κύκλο (M, \dfrac{\sqrt3}{2}BC), η AP είναι η Α-συμμετροδιάμεσός τους (P, M όπως ορίζονται παραπάνω).

γ. δείξτε ότι το το συμμετρικό του A ως προς P, έστω A', είναι ο πόλος της BC ως προς τον περίκυκλο του ABC


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Συμμετροδιάμεσος σε ειδικό τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Δεκ 18, 2018 9:54 pm

Αν δείξουμε το πρώτο, τα υπόλοιπα έπονται απλά. Είναι:

DM=\dfrac{b^2-c^2}{2a}

BD=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2a}

m_{a}^{2}=\dfrac{3a^2}{4}\Leftrightarrow \dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\dfrac{3a^2}{4}\Leftrightarrow 2a^2=b^2+c^2

Έτσι

\dfrac{CP}{BP}=\dfrac{\dfrac{a}{2}+\dfrac{DM}{2}}{BD+\dfrac{DM}{2}}=...=\dfrac{2a^2+b^2-c^2}{2a^2+c^2-b^2}=...=\dfrac{b^2}{c^2} κ.λπ.

:P


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Συμμετροδιάμεσος σε ειδικό τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Δεκ 18, 2018 11:02 pm

Για το γ) ερώτημα αρκεί να θυμηθούμε ότι η μεσοκάθετος της BC, η εσωτερική Α-συμμετροδιάμεσος και οι εξωτερικές Β, C-συμμετροδιάμεσοι συντρέχουν.

Στην Περίπτωσή μας, επειδή το P είναι μέσο του DM, το παραπάνω σημείο τομής είναι το A'. Φανερά, τώρα, το A' είναι ο πόλος της BC :P


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες