Εξίσωση από μετακίνηση σημείου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Εξίσωση από μετακίνηση σημείου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Δεκ 15, 2018 7:27 pm

Δίνεται ευθεία AB σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (A(0,0)\kappa \alpha \iota B(0,b). Σημείο D κινείται κατά μήκος του AB χωρίς να ταυτίζεται με τα άκρα του. Έχουμε τα ημικύκλια με διάμετρο AD,DB στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς το AB και φέρνουμε και τις 2 κοινές εφαπτόμενες των ημικύκλιων όπου τέμνονται στο T. Να βρεθεί η εξίσωση που ακολουθεί το σημείο T καθώς κινείται το D



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση από μετακίνηση σημείου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 15, 2018 7:50 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Δεκ 15, 2018 7:27 pm
Δίνεται ευθεία AB σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (A(0,0)\kappa \alpha \iota B(0,b). Σημείο D κινείται κατά μήκος του AB χωρίς να ταυτίζεται με τα άκρα του. Έχουμε τα ημικύκλια με διάμετρο AD,DB στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς το AB και φέρνουμε και τις 2 κοινές εφαπτόμενες των ημικύκλιων όπου τέμνονται στο T. Να βρεθεί η εξίσωση που ακολουθεί το σημείο T καθώς κινείται το D
Tα ημικύκλια έχουν μία κοινή εφαπτομένη. Παραβλέποντας το ως αβλεψία μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων είναι A(0,0), D(0,2d), B(0,b)=B(0,2b'), \, T(0,t). Άρα τα κέντρα των κύκλων είναι τα K(0,d), L(0,2d+b') και οι ακτίνες τους d, b'-d. Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα με υποτείνουσες TL, TK και κάθετο μία ακτίνα (προς το σημείο επαφής) έχουμε \frac {t-b'-d}{b'-d}= \frac {t-d}{d}. Και λοιπά.

Δεν θα την χαρακτήριζα ως άσκηση για Ολυμπιάδες. Πιο κοντά σε "άσκηση στο σπίτι" στο στάνταρ μάθημα Αναλυτικής.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση από μετακίνηση σημείου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 16, 2018 12:33 am

Γ.Τ.Ε.png
Γ.Τ.Ε.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές

\displaystyle \frac{{{{(2x - b)}^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\dfrac{b}{4}} \right)}^2}}} = 1.

Η λύση αύριο.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση από μετακίνηση σημείου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 16, 2018 4:39 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Δεκ 15, 2018 7:27 pm
Δίνεται ευθεία AB σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (A(0,0)\kappa \alpha \iota B(0,b). Σημείο D κινείται κατά μήκος του AB χωρίς να ταυτίζεται με τα άκρα του. Έχουμε τα ημικύκλια με διάμετρο AD,DB στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς το AB και φέρνουμε και τις 2 κοινές εφαπτόμενες των ημικύκλιων όπου τέμνονται στο T. Να βρεθεί η εξίσωση που ακολουθεί το σημείο T καθώς κινείται το D
Γ.Τ.Ε.png
Γ.Τ.Ε.png (15.25 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές
Έστω K, L τα κέντρα των δύο ημικυκλίων και M το κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου KL. Αν D(x,0) τότε το T(x,y)

είναι σημείο του ημικυκλίου διαμέτρου KL, οπότε έχουμε \displaystyle K\left( {\frac{x}{2},0} \right),L\left( {\frac{{x + b}}{2},0} \right) και \displaystyle M\left( {\frac{{2x + b}}{4},0} \right).

Άρα \displaystyle MT = \frac{b}{4},MD = \frac{{2x - b}}{4} και με Π. Θ στο MDT είναι: \boxed{ \frac{{{{(2x - b)}^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\dfrac{b}{4}} \right)}^2}}} = 1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες