Τμήμα και λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11707
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τμήμα και λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 14, 2018 9:17 pm

Τμήμα  και  λόγος.png
Τμήμα και λόγος.png (22.17 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές
Το M είναι το μέσο της πλευράς CD του τετραπλεύρου ABCD , το οποίο συγκροτήθηκε

όπως φαίνεται στο σχήμα . A) Υπολογίστε το (OM) ... B) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(OMB)}{(OMA)}



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1857
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τμήμα και λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Δεκ 15, 2018 12:29 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 14, 2018 9:17 pm
Τμήμα και λόγος.pngΤο M είναι το μέσο της πλευράς CD του τετραπλεύρου ABCD , το οποίο συγκροτήθηκε

όπως φαίνεται στο σχήμα . A) Υπολογίστε το (OM) ... B) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(OMB)}{(OMA)}
\displaystyle OM = 3 και \displaystyle \frac{{\left( {MOB} \right)}}{{\left( {MOA} \right)}} = \frac{3}{5}.Η λύση αύριο αν δεν απαντηθεί


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7336
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τμήμα και λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 15, 2018 12:50 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 14, 2018 9:17 pm
Τμήμα και λόγος.pngΤο M είναι το μέσο της πλευράς CD του τετραπλεύρου ABCD , το οποίο συγκροτήθηκε

όπως φαίνεται στο σχήμα . A) Υπολογίστε το (OM) ... B) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(OMB)}{(OMA)}
α) Προφανώς οι γωνίες \widehat {AOB}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {DOC}\,\, είναι παραπληρωματικές κι αφού Θ. συνημίτονου :

\cos \widehat {AOC} = \dfrac{{{4^2} + {5^2} - {6^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow \cos \widehat {DOC} =  - \dfrac{1}{8} από το ίδιο θεώρημα στο \vartriangle DOC έχω

C{D^2} = 46 και από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο ίδιο τρίγωνο έχω \displaystyle \boxed{x = OM = 3}.
Τμήμα και λόγος_ok.png
Τμήμα και λόγος_ok.png (37.26 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές

β) Φέρνω KM//OC και άρα \widehat \theta  = \widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\theta _2}} ως παραπληρώματα της \widehat {DOC}.

Επειδή \dfrac{{OA}}{{OB}} = \dfrac{{KO}}{{KM}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{{2,5}} τα τρίγωνα OAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KOM είναι όμοια . Αν λοιπόν

Προεκτείνω την MO προς το O και τμήσει την AB στο T θα είναι :

Η γωνία \widehat \xi συμπληρωματική της \widehat {{\theta _1}} και αφού \widehat \xi  = \widehat {{\xi _1}} , λόγω της προηγούμενης

ομοιότητας , θα είναι \widehat {{\xi _1}} + \widehat \theta_1  = 90^\circ  \Rightarrow \boxed{OT \bot AB}.

Από το Θ. απέναντι οξείας γωνίας στο τρίγωνο AOB έχω :

25 = 36 + 16 - 2 \cdot 6AT \Rightarrow \boxed{AT = \dfrac{9}{4}} και άρα \boxed{TB = \dfrac{{15}}{4}} , οπότε : \boxed{\dfrac{{(OMB)}}{{(OMA)}} = \dfrac{5}{3}}


Για δεύτερο ερώτημα μπορούμε να εργαστούμε κι ως εξής:
Τμήμα και λόγος_new.png
Τμήμα και λόγος_new.png (33.26 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές
Ας είναι K η προβολή του M στη DO προφανώς MK//OA και άρα (MOA) = (KOA) .

Αλλά από το Θ. απέναντι οξείας γωνίας ( \widehat {MOD} < 90^\circ ) έχω : D{M^2} = O{D^2} + O{M^2} - 2OD \cdot OK δηλαδή :

\displaystyle \dfrac{{46}}{4} = 16 + 9 - 2 \cdot 4 \cdot OK \Rightarrow \boxed{OK = \frac{{27}}{{16}}} \Rightarrow \boxed{(MOA) = \frac{{27}}{8}}

Με όμοιο τρόπο \boxed{(MOB) = \frac{{45}}{8}} και άρα \boxed{\frac{{(MOB)}}{{(MOA)}} = \frac{5}{3}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11707
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τμήμα και λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 15, 2018 7:56 am

Τμήμα  και  λόγος.png
Τμήμα και λόγος.png (23.24 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές
Το πρώτο ερώτημα μπορεί να απαντηθεί από το εξής πόρισμα του "συμπλέγματος Vecten" :

Η προέκταση του ύψους OJ διέρχεται από το μέσο M της CD και είναι : OM=\dfrac{BC}{2}

Η διατύπωση από εδώ . Δώστε διαφορετική απόδειξη από αυτή του Νίκου και της παραπομπής ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9570
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τμήμα και λόγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 15, 2018 9:40 am

Η κλασική απόδειξη.
Vecten.I.png
Vecten.I.png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές
Προεκτείνω τη διάμεσο OM κατά μήμα MN=OM. Τα τρίγωνα \displaystyle CON,OBA είναι ίσα γιατί έχουν δύο πλευρές

ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες ως παραπληρωματικές της \displaystyle C\widehat OD. Άρα, \displaystyle OM = \frac{{AB}}{2}. Από την

ισότητα των τριγώνων είναι \displaystyle \widehat B = \varphi , αλλά \displaystyle \varphi  + \omega  = 90^\circ , οπότε \displaystyle \widehat B + \omega  = 90^\circ και OJ\bot AB.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7336
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τμήμα και λόγος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 15, 2018 10:59 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 15, 2018 7:56 am
Τμήμα και λόγος.pngΤο πρώτο ερώτημα μπορεί να απαντηθεί από το εξής πόρισμα του "συμπλέγματος Vecten" :

Η προέκταση του ύψους OJ διέρχεται από το μέσο M της CD και είναι : OM=\dfrac{BC}{2}

Η διατύπωση από εδώ . Δώστε διαφορετική απόδειξη από αυτή του Νίκου και της παραπομπής ...

Μια απόδειξη με εσωτερικό γινόμενο υπάρχει στο βιβλίο κατεύθυνσης Β λυκείου , σελίδα 50 υπ αριθ. 9


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1857
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τμήμα και λόγος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Δεκ 15, 2018 2:51 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 15, 2018 7:56 am
Τμήμα και λόγος.pngΤο πρώτο ερώτημα μπορεί να απαντηθεί από το εξής πόρισμα του "συμπλέγματος Vecten" :

Η προέκταση του ύψους OJ διέρχεται από το μέσο M της CD και είναι : OM=\dfrac{BC}{2}

Η διατύπωση από εδώ . Δώστε διαφορετική απόδειξη από αυτή του Νίκου και της παραπομπής ...

\displaystyle H,M,I,E είναι μέσα των πλευρών του \displaystyle ABCD

Από την προφανή ισότητα των τριγώνων \displaystyle \vartriangle COA,DOB είναι \displaystyle CA = DB και οι μπλε γωνίες ίσες

συνεπώς το \displaystyle COKBείναι εγγράψιμο άρα \displaystyle CA \bot BD και \displaystyle MHEI τετράγωνο

Με θ.διαμέσου στα \displaystyle \vartriangle OME,OHI έχουμε

\displaystyle O{H^2} + O{I^2} = O{M^2} + O{E^2} \Rightarrow \frac{{B{C^2} + A{D^2}}}{4} = O{M^2} + \frac{{2\left( {O{B^2} + O{A^2}} \right) - A{B^2}}}{4}

\displaystyle \frac{{B{C^2} + A{D^2}}}{4} = O{M^2} + \frac{{B{C^2} + A{D^2}}}{4} - \frac{{A{B^2}}}{4} \Rightarrow \boxed{OM = \frac{{AB}}{2}}
T.K.L.png
T.K.L.png (36.09 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης