Ίσο με τη διαγώνιο

KARKAR · #1

: Ισο με την διαγώνιο.png (12.66 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές

Το τμήμα

είναι παράλληλο προς τη βάση

του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

ενώ το

είναι σημείο στην προέκταση της

. Αν το τμήμα

τέμνει τις πλευρές

AB,AC

στα σημεία P,Q

αντίστοιχα , έτσι ώστε : SP=PQ=QT

:

α) Κατασκευάστε το σχήμα . β) Δείξτε ότι BQ=CT

.

Altrian · #2

Καλησπέρα,
α) Κατασκευή.
Χωρίζουμε την

σε τρία ίσα μέρη στα σημεία P,F

. Από το

φέρνουμε παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

H

είναι η ζητούμενη από ομοιότητα τριγώνων $\bigtriangleup PSB\approx \bigtriangleup ATP$ με λόγο

και ισότητα $\bigtriangleup PSB=\bigtriangleup PFQ$

β) Εκ κατασκευής

μεσοκάθετος του $PT\Rightarrow CT=CP$ . Αρκεί να δείξω επομένως ότι CP=BQ

.
Αυτό προκύπτει από την ισότητα των $\bigtriangleup BPC=\bigtriangleup AQB$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

Xriiiiistos · #3

Από μενέλαο στο SQC

με διατέμνουσα την $\overline{BPA}$ παίρνουμε $AG=SB=\frac{a}{3}$ . όπου

πλευρά ισοπλεύρου. Από την ομοιότητα των τριγώνων AGT,SGC

βρίσκουμε την

συνάρτηση του

Από νόμο συνημιτώνων στο CGB,ACT

προς τις γωνίες $\widehat{BCG}=\widehat{CAT}=60$ βρίσκουμε την TC,BG

συνάρτηση του α όπου θα είναι και ίσες. Μετά από το θεώρημα του Μελέναου η κατασκευή είναι πολύ εύκολη

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 2:32 pm
Ισο με την διαγώνιο.pngΤο τμήμα είναι παράλληλο προς τη βάση του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

ενώ το είναι σημείο στην προέκταση της . Αν το τμήμα τέμνει τις πλευρές

στα σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε : :

α) Κατασκευάστε το σχήμα . β) Δείξτε ότι .

: Ίσο με τη διαγώνιο.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

α) Φέρνω

με $AT=\dfrac{2a}{3}$ και στη συνέχεια κάθετη από το

στην

που τέμνει τις AC, AB, CB

στα

αντίστοιχα. Η απόδειξη είναι απλή.

β) Πυθαγόρειο στο QCT

και νόμος συνημιτόνων στο BQA:

$\displaystyle C{T^2} = {\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{7{a^2}}}{9},$ $\displaystyle B{Q^2} = \frac{{{a^2}}}{9} + {a^2} - a \cdot \frac{{a}}{3} = \frac{{7{a^2}}}{9} \Rightarrow$ $\boxed{CT=BQ}$

#5

: Ισο με τη διαγώνιο.png (30.08 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Το σχήμα τα "λέει" αλλά αργότερα θα τα γράψω.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 2:32 pm
Ισο με την διαγώνιο.pngΤο τμήμα είναι παράλληλο προς τη βάση του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

ενώ το είναι σημείο στην προέκταση της . Αν το τμήμα τέμνει τις πλευρές

στα σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε : :

α) Κατασκευάστε το σχήμα . β) Δείξτε ότι .

Τριχοτομώ το τμήμα $BA\,\,(BP = \dfrac{1}{3}BA)$ και ας είναι $6k = a\,\,,k > 0$ το μήκος της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

.

Φέρνω από το

κάθετη στη

που τέμνει: τις ευθείες :

στο

,

στο

και την εκ του

παράλληλη στην

, στο σημείο

.

: Ισο με τη διαγώνιο_ok.png (30.1 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Θα είναι $BP = 2k\,\,,\,\,PA = 4k\,$ . Αφού στο τρίγωνο APK

η

ύψος και διχοτόμος θα είναι αυτό ισοσκελές και η

διάμεσος . Άρα $\boxed{PQ = QT\,}\,\kappa \alpha \iota \,\,AP = AT = 4k$

Επίσης $2AQ = AP \Rightarrow AQ = 2k \Rightarrow QC = 4k \Rightarrow CS = 8k \Rightarrow SB = 2k$ . Αφού

$\left\{ \begin{gathered} 2 = \frac{{AP}}{{PB}} = \frac{{PT}}{{PS}} \hfill \\ PT = 2PQ \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow SP = PQ = QT$ .

Αν $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ οι προβολές των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ στις $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT$ αντίστοιχα θα είναι:

$\left\{ \begin{gathered} QM = 3k - 2k = k \hfill \\ NT = 4k - 3k = k \hfill \\ BM = NC = h \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Όπου h =

ύψος του ισόπλευρου τριγώνου ABC

.

Δηλαδή τα ορθογώνια τρίγωνα $MBQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NCT$ έχουν τις κάθετε πλευρές τους ίσες

Οπότε θα είναι ίσα και έτσι θα έχουν και τις υποτείνουσές τους $BQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NT\,$ ίσες,

Ίσο με τη διαγώνιο

Ίσο με τη διαγώνιο

Re: Ίσο με τη διαγώνιο

Re: Ίσο με τη διαγώνιο

Re: Ίσο με τη διαγώνιο

Re: Ίσο με τη διαγώνιο

Re: Ίσο με τη διαγώνιο

Μέλη σε σύνδεση