Ίσο με τη διαγώνιο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ίσο με τη διαγώνιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 13, 2018 2:32 pm

Ισο  με την    διαγώνιο.png
Ισο με την διαγώνιο.png (12.66 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές
Το τμήμα AT είναι παράλληλο προς τη βάση BC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC ,

ενώ το S είναι σημείο στην προέκταση της CB . Αν το τμήμα ST τέμνει τις πλευρές

AB,AC στα σημεία P,Q αντίστοιχα , έτσι ώστε : SP=PQ=QT :

α) Κατασκευάστε το σχήμα . β) Δείξτε ότι BQ=CT .



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 203
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ίσο με τη διαγώνιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Δεκ 13, 2018 3:23 pm

Καλησπέρα,
α) Κατασκευή.
Χωρίζουμε την AB σε τρία ίσα μέρη στα σημεία P,F. Από το F φέρνουμε παράλληλη στην BC που τέμνει την AC στο Q. H QP είναι η ζητούμενη από ομοιότητα τριγώνων \bigtriangleup PSB\approx \bigtriangleup ATP με λόγο 2 και ισότητα \bigtriangleup PSB=\bigtriangleup PFQ

β) Εκ κατασκευής AQ μεσοκάθετος του PT\Rightarrow CT=CP. Αρκεί να δείξω επομένως ότι CP=BQ.
Αυτό προκύπτει από την ισότητα των \bigtriangleup BPC=\bigtriangleup AQB

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
iso_me_th_diagonio.png
iso_me_th_diagonio.png (26.79 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Ίσο με τη διαγώνιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Δεκ 13, 2018 3:40 pm

Από μενέλαο στο SQC με διατέμνουσα την \overline{BPA} παίρνουμε AG=SB=\frac{a}{3}. όπου a πλευρά ισοπλεύρου. Από την ομοιότητα των τριγώνων AGT,SGC βρίσκουμε την AT συνάρτηση του a Από νόμο συνημιτώνων στο CGB,ACT προς τις γωνίες \widehat{BCG}=\widehat{CAT}=60 βρίσκουμε την TC,BG συνάρτηση του α όπου θα είναι και ίσες. Μετά από το θεώρημα του Μελέναου η κατασκευή είναι πολύ εύκολη


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσο με τη διαγώνιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 13, 2018 4:55 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 2:32 pm
Ισο με την διαγώνιο.pngΤο τμήμα AT είναι παράλληλο προς τη βάση BC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC ,

ενώ το S είναι σημείο στην προέκταση της CB . Αν το τμήμα ST τέμνει τις πλευρές

AB,AC στα σημεία P,Q αντίστοιχα , έτσι ώστε : SP=PQ=QT :

α) Κατασκευάστε το σχήμα . β) Δείξτε ότι BQ=CT .
Ίσο με τη διαγώνιο.png
Ίσο με τη διαγώνιο.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές
α) Φέρνω AT||BC με AT=\dfrac{2a}{3} και στη συνέχεια κάθετη από το T στην AC που τέμνει τις AC, AB, CB

στα Q, P, S αντίστοιχα. Η απόδειξη είναι απλή.

β) Πυθαγόρειο στο QCT και νόμος συνημιτόνων στο BQA:

\displaystyle C{T^2} = {\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{7{a^2}}}{9}, \displaystyle B{Q^2} = \frac{{{a^2}}}{9} + {a^2} - a \cdot \frac{{a}}{3} = \frac{{7{a^2}}}{9} \Rightarrow \boxed{CT=BQ}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσο με τη διαγώνιο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 13, 2018 6:33 pm

Ισο με τη διαγώνιο.png
Ισο με τη διαγώνιο.png (30.08 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές

Το σχήμα τα "λέει" αλλά αργότερα θα τα γράψω.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσο με τη διαγώνιο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 15, 2018 7:26 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 2:32 pm
Ισο με την διαγώνιο.pngΤο τμήμα AT είναι παράλληλο προς τη βάση BC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC ,

ενώ το S είναι σημείο στην προέκταση της CB . Αν το τμήμα ST τέμνει τις πλευρές

AB,AC στα σημεία P,Q αντίστοιχα , έτσι ώστε : SP=PQ=QT :

α) Κατασκευάστε το σχήμα . β) Δείξτε ότι BQ=CT .
Τριχοτομώ το τμήμα BA\,\,(BP = \dfrac{1}{3}BA) και ας είναι 6k = a\,\,,k > 0 το μήκος της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου ABC .

Φέρνω από το P κάθετη στη AC που τέμνει: τις ευθείες : BC στο S, AC στο Q

και την εκ του A παράλληλη στην BC, στο σημείο T.
Ισο με τη διαγώνιο_ok.png
Ισο με τη διαγώνιο_ok.png (30.1 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές
Θα είναι BP = 2k\,\,,\,\,PA = 4k\,. Αφού στο τρίγωνο APK η AQ ύψος και διχοτόμος θα είναι αυτό ισοσκελές και η AQ διάμεσος . Άρα \boxed{PQ = QT\,}\,\kappa \alpha \iota \,\,AP = AT = 4k

Επίσης 2AQ = AP \Rightarrow AQ = 2k \Rightarrow QC = 4k \Rightarrow CS = 8k \Rightarrow SB = 2k. Αφού

\left\{ \begin{gathered} 
  2 = \frac{{AP}}{{PB}} = \frac{{PT}}{{PS}} \hfill \\ 
  PT = 2PQ \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow SP = PQ = QT.

Αν M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N οι προβολές των B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C στις AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT αντίστοιχα θα είναι:

\left\{ \begin{gathered} 
  QM = 3k - 2k = k \hfill \\ 
  NT = 4k - 3k = k \hfill \\ 
  BM = NC = h \hfill \\  
\end{gathered}  \right.. Όπου h = ύψος του ισόπλευρου τριγώνου ABC.

Δηλαδή τα ορθογώνια τρίγωνα MBQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NCT έχουν τις κάθετε πλευρές τους ίσες

Οπότε θα είναι ίσα και έτσι θα έχουν και τις υποτείνουσές τους BQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NT\, ίσες,


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης