Τετραπλευρίτις

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12479
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τετραπλευρίτις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 11, 2018 9:23 pm

Τετραπλευρίτις.png
Τετραπλευρίτις.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές
Στο τετράπλευρο του σχήματος είναι AC=20 . Ι) Δείξτε ότι η AC διχοτομεί την \widehat{BAD} .

ΙΙ) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος MN , το οποίο συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Τετραπλευρίτις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τρί Δεκ 11, 2018 11:43 pm

i) Απο τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε:

BC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{BAC}\Leftrightarrow =121+400-2\cdot 143\cdot\cos \widehat{BAC}\Leftrightarrow\cos \widehat{BAC}=..\frac{352}{410}=\frac{44}{55}=0,8
Ακόμη:DC^{2}=AD^{2}+AC^{2}-2\cdot AD\cdot AC\cdot \cos \widehat{DAC}\Leftrightarrow 225=49+400-2\cdot 2800\cdot\cos DAC\Leftrightarrow ..\cos DAC=\frac{224}{280}= 0,8,
Συνεπώς οι γωνίες \widehat{BAC} και \widehat{DAC} είναι ίσες ... αύριο θα κοιτάξω και το και το ii


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7843
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετραπλευρίτις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 12, 2018 1:54 am

Από τον τύπο του Ήρωνα: (ABC) = 66\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(ADC) = 42 Αλλά αν x,y οι αποστάσεις του Cαπό τις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD αντίστοιχα θα είναι :

:\left\{ \begin{gathered} 
  (ABC) = \frac{{11x}}{2} \hfill \\ 
  (ADC) = \frac{{7y}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  66 = \frac{{11x}}{2} \hfill \\ 
  42 = \frac{{7y}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{x = y = 6} ,

συνεπώς η AC διχοτομεί τη γωνία \widehat {ADB} .
τετραπλευρίτις.png
τετραπλευρίτις.png (18.67 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές

Αν DP το ύψος του \vartriangle DAC θα είναι DP = \dfrac{{2(DAC)}}{{AC}} = \dfrac{{21}}{5} = \dfrac{3}{5} \cdot 7 δηλαδή το ορθογώνιο τρίγωνο PAD είναι όμοιο με το «κλασσικό» (4,5,3)

Άρα \cos \dfrac{A}{2} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \cos A = 2\dfrac{{16}}{{25}} - 1 = \dfrac{7}{{25}} έτσι βρίσκω την BD = d\,\,,\,\,\boxed{{d^2} = \dfrac{{3172}}{{25}}}

Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα A{\rm B}C\,\,\kappa \alpha \iota \,ADC\, έχω :

N{B^2} = 45\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N{D^2} = 37 και πάλι από το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο NBD έχω :

\boxed{NM = \frac{{2\sqrt {58} }}{5}}

Υπάρχει και σχετικό θεώρημα για κάθε τετράπλευρο :

A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10386
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετραπλευρίτις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 12, 2018 10:19 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 11, 2018 9:23 pm
Τετραπλευρίτις.pngΣτο τετράπλευρο του σχήματος είναι AC=20 . Ι) Δείξτε ότι η AC διχοτομεί την \widehat{BAD} .

ΙΙ) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος MN , το οποίο συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του .
Τετραπλευρίτις.png
Τετραπλευρίτις.png (13.86 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
Ι) Με τον τύπο του Ήρωνα βρίσκω \displaystyle (ABC) = 66,(ADC) = 42 \Rightarrow \frac{{(ABC)}}{{(ADC)}} = \frac{{BB'}}{{DD'}} = \frac{{BS}}{{SD}} \Leftrightarrow

\displaystyle \frac{{BS}}{{SD}} = \frac{{66}}{{42}} = \frac{{11}}{7} = \frac{{AB}}{{AD}} και το ζητούμενο έπεται.

ΙΙ) (ABCD)=108. Αλλά με τον τύπο Bretschneider, \displaystyle (ABCD) = \frac{1}{4}\sqrt {4 \cdot {{20}^2} \cdot B{D^2} - {{({{11}^2} - {{13}^2} + {{15}^2} - {7^2})}^2}}

απ' όπου, \displaystyle B{D^2} = \frac{{3172}}{{25}}. Τέλος, \displaystyle A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2} \Leftrightarrow \boxed{MN = \frac{{2\sqrt {58} }}{5}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: gbaloglou, sersam και 3 επισκέπτες