Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11658
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 09, 2018 11:48 am

Παραλληλόγραμμο εντός  παραλληλογράμμου.png
Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου.png (13.49 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές
Τα ABCD ,AEZH είναι ( ανόμοια ) παραλληλόγραμμα . Οι DE,BH

τέμνονται στο σημείο S . α) Δείξτε ότι τα σημεία S,Z,C είναι συνευθειακά .

β) Χρησιμοποιήστε τα μήκη του σχήματος για να βρείτε το λόγο \dfrac{SZ}{ZC} .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1833
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Δεκ 09, 2018 5:06 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 11:48 am
Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου.pngΤα ABCD ,AEZH είναι ( ανόμοια ) παραλληλόγραμμα . Οι DE,BH

τέμνονται στο σημείο S . α) Δείξτε ότι τα σημεία S,Z,C είναι συνευθειακά .

β) Χρησιμοποιήστε τα μήκη του σχήματος για να βρείτε το λόγο \dfrac{SZ}{ZC} .

Στο \displaystyle \vartriangle DAE με διατέμνουσα \displaystyle HSB \Rightarrow \boxed{\frac{{AH}}{{HD}}} \cdot \frac{{DS}}{{SE}} \cdot \left| \!{\nderline {\, 
  {\frac{{BE}}{{BA}}} \,}} \right.  = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{EZ}}{{ZN}}} \cdot \frac{{DS}}{{SE}} \cdot \left| \!{\nderline {\, 
  {\frac{{CN}}{{CD}}} \,}} \right.  = 1 \Rightarrow C,Z,S συνευθειακά

(αντίστροφο Μενέλαου στο \displaystyle \vartriangle DEN)

Στο \displaystyle \vartriangle DSC με διατέμνουσα \displaystyle NZE \Rightarrow \frac{{SZ}}{{ZC}} \cdot \frac{{CN}}{{ND}} \cdot \frac{{ED}}{{ES}} = 1

Αλλά \displaystyle \frac{{PE}}{3} = \frac{5}{9} \Rightarrow PE = \frac{5}{3} και \displaystyle \frac{{SE}}{{SD}} = \frac{{PE}}{{HD}} = \frac{{\frac{5}{3}}}{2} = \frac{5}{6} \Rightarrow \frac{{ED}}{{ES}} = \frac{{11}}{5}

Έτσι \displaystyle \frac{{SZ}}{{ZC}} \cdot \frac{{CN}}{{ND}} \cdot \frac{{ED}}{{ES}} = 1 \Rightarrow \frac{{SZ}}{{ZC}} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{{11}}{5} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{SZ}}{{ZC}} = \frac{4}{{11}}}
Συνημμένα
p.e.p.png
p.e.p.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Δευ Δεκ 10, 2018 12:45 pm

α) 'Αλλως. Με θεώρημα Πάππου στις τριάδες σημείων H, D, \infty και E, B, \infty.
Επειδή τότε

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& S = HB \cap DE \cr 
& C = D \infty \cap B\infty \cr 
& Z = H \infty \cap E\infty \cr 
\end{aligned} 
}

β) 'Αλλως. Θεωρώντας πλαγιογώνιο σύστημα συντεταγμένων και το S
ως τομή των ευθειών DE, HB, παίρνουμε τις εξισώσεις

\displaystyle{ 
 \left\{ 
\begin{aligned} 
& {y-0 \over x-4} = {5-0\over 0-4} \cr 
& {y-0 \over x-9} = {3-0\over 0-9} \cr 
\end{aligned} 
\right\} \rightarrow x={24 \over 11}, \ \  y={25 \over 11} 
}

Εύκολα κατόπιν βρίσκουμε

\displaystyle{ 
{SZ \over ZC} = {4 \over 11} 
}
Συνημμένα
parentos.png
parentos.png (277.41 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1490
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Δεκ 18, 2018 1:03 pm

Ονομάζουμε \overrightarrow{AB}=\vec{a} και \overrightarrow{AD}=\vec{b}.

Υπάρχουν k,m\in \mathbb R ώστε \overrightarrow{SE}=k\overrightarrow{DE} και \overrightarrow{SB}=m\overrightarrow{HB}.

Εύκολα βρίσκουμε

\overrightarrow{SE}=\dfrac{4k}{9}\vec{a}-k\vec{b}

\overrightarrow{SB}=m\vec{a}-\dfrac{3m}{5}\vec{b}

Αν ξεκινήσουμε από την προφανή ισότητα,

\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{EB}

αντικαθιστώντας βρίσκουμε

\left ( \dfrac{4k}{9}-m+\dfrac{5}{9} \right )\vec{a}+\left ( \dfrac{3m}{5}-k \right )\vec{b}=\vec0.

Κατά τα γνωστά οι συντελεστές είναι μηδέν, λύνουμε το σύστημα οπότε

k=\dfrac{5}{11} και m=\dfrac{25}{33}.

Τώρα με απλούς υπολογισμούς

\overrightarrow{SZ}=\dfrac{4}{45}\dfrac{25\vec {a}+18\vec {b}}{11}

\overrightarrow{SC}=\dfrac{1}{3}\dfrac{25\vec {a}+18\vec {b}}{11}

οπότε

\overrightarrow{SZ}=\dfrac{4}{15}\overrightarrow{SC}.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες