Ελάχιστη περίμετρος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8151
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ελάχιστη περίμετρος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 08, 2018 7:43 pm

Ελάχιστη περίμετρος.png
Ελάχιστη περίμετρος.png (9.93 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές
Στο τρίγωνο ABC η πλευρά BC=a είναι σταθερή και η διάμεσος BM σχηματίζει

με την BC γωνία 60^\circ. Να βρείτε την ελάχιστη περίμετρο του τριγώνου.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11231
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστη περίμετρος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 08, 2018 10:01 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Δεκ 08, 2018 7:43 pm
Ελάχιστη περίμετρος.png
Στο τρίγωνο ABC η πλευρά BC=a είναι σταθερή και η διάμεσος BM σχηματίζει

με την BC γωνία 60^\circ. Να βρείτε την ελάχιστη περίμετρο του τριγώνου.
Ουσιαστικά θέλουμε το ελάχιστο BA+AC.

Αν N το μέσον της BC τότε \displaystyle{BA+AC=2(NM+MC)} οπότε αναγόμαστε στην εύρεση του ελάχιστου NM+MC καθώς το M διατρέχει σταθερή ευθεία (για κάθε M στην ευθεία εύκολα κατασκευάζουμε τρίγωνο με BM διάμεσος: απλά παίρνουμε AM=MC στην προέκταση της MC).

Όμως στο πρόβλημα αυτό, κατά ντον Ήρωνα, βρίσκουμε το ελάχιστο όταν το N ενωθεί με το συμμετρικό του C προς την ευθεία. Σε αυτή την περίπτωση MC\perp BM, άρα NM+MC = \frac {1}{2} BC+ BC\cos 30=\frac {a+a\sqrt 3}{2} , οπότε το ζητούμενο ελάχιστο είναι a+ a+a\sqrt 3= 2a\sqrt 3


ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Ελάχιστη περίμετρος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Δεκ 08, 2018 10:33 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Δεκ 08, 2018 10:01 pm
george visvikis έγραψε:
Σάβ Δεκ 08, 2018 7:43 pm
Ελάχιστη περίμετρος.png
Στο τρίγωνο ABC η πλευρά BC=a είναι σταθερή και η διάμεσος BM σχηματίζει

με την BC γωνία 60^\circ. Να βρείτε την ελάχιστη περίμετρο του τριγώνου.
Ουσιαστικά θέλουμε το ελάχιστο BA+AC.

Αν N το μέσον της BC τότε \displaystyle{BA+AC=2(NM+MC)} οπότε αναγόμαστε στην εύρεση του ελάχιστου NM+MC καθώς το M διατρέχει σταθερή ευθεία (για κάθε M στην ευθεία εύκολα κατασκευάζουμε τρίγωνο με BM διάμεσος: απλά παίρνουμε AM=MC στην προέκταση της MC).

Όμως στο πρόβλημα αυτό, κατά ντον Ήρωνα, βρίσκουμε το ελάχιστο όταν το N ενωθεί με το συμμετρικό του C προς την ευθεία. Σε αυτή την περίπτωση MC\perp BM, άρα NM+MC = \frac {1}{2} BC+ BC\cos 30=\frac {a+a\sqrt 3}{2} , οπότε το ζητούμενο ελάχιστο είναι a+ a+a\sqrt 3= 2a\sqrt 3
Στην προσπάθειά μου να λύσω την άσκηση, υπέθεσα (δοκιμαστικά), πως το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές και κατέληξα στο ίδιο αποτέλεσμα!
(στην τελευταία πράξη μάλλον έχετε κάποιο μικρό λάθος)
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Σάβ Δεκ 08, 2018 10:46 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8150
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη περίμετρος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Δεκ 08, 2018 10:37 pm

Μιχάλη, στο ελάχιστο δεν θα έχουμε MC \perp BM. Θα έχουμε \angle AMB = \angle BMN = \angle MBA. Άρα AB = AM=MC = 2MN.

Από Θεώρημα Συνημιτόνων, θέτοντας x=BM έχουμε

\displaystyle  (MN)^2 = x^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{ax}{2}

και

\displaystyle  (MC)^2 = x^2 + a^2 - ax

Από την MC = 2MN παίρνουμε x^2+a^2-ax = 4x^2 + a^2 - 2ax που δίνει x = a/3. Αυτό με τη σειρά του δίνει MN = \sqrt{7}a/6 και MC = \sqrt{7}a/3.

Άρα ελάχιστη περίμετρος (1+\sqrt{7})a.

Σημείωση: Στην περίπτωση όπου MC \perp BM η τελική απάντηση είναι (2+\sqrt{3})a και όχι 2\sqrt{3}a. Το γράφω διότι έψαχνα να βρω που έκανα λάθος αφού 2\sqrt{3} < 1 + \sqrt{7}.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11231
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστη περίμετρος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 08, 2018 11:48 pm

.
Έχετε δίκιο. Κάνω διόρθωση στην απροσεξία μου. :oops: Ευχαριστώ και τους δύο για την επισήμανση.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Δεκ 08, 2018 10:01 pm

Ουσιαστικά θέλουμε το ελάχιστο BA+AC.

Αν N το μέσον της BC τότε \displaystyle{BA+AC=2(NM+MC)} οπότε αναγόμαστε στην εύρεση του ελάχιστου NM+MC καθώς το M διατρέχει σταθερή ευθεία (για κάθε M στην ευθεία εύκολα κατασκευάζουμε τρίγωνο με BM διάμεσος: απλά παίρνουμε AM=MC στην προέκταση της MC).

Όμως στο πρόβλημα αυτό, κατά τον Ήρωνα, βρίσκουμε το ελάχιστο όταν το N ενωθεί με το συμμετρικό του C προς την ευθεία. Σε αυτή την περίπτωση (από εδώ και πέρα κάνω διόρθωση σε απροσεξία του αρχικού) M'C\perp BM, όπου M' στην ευθεία και άρα \angle BCM'=30^o. Αν A' το εν λόγω συμμετρικό τότε \min (NM+MC)  = NA', που είναι απλό να υπολογισθεί (Νόμος συνημιτόνων στο NAC). Και λοιπά.
H απροσεξία ήταν ότι ένωσα το N με το M και όχι με το συμμετρικό του C, όπως είχα αναγγείλει στο προηγούμενο βήμα. Ξεχάστηκα στον δρόμο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες