Έγκεντρο επί κύκλου
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Έγκεντρο επί κύκλου
Από το μέσο της διέρχεται μεταβλητή χορδή . Δείξτε ότι :
α) Το είναι το έγκεντρο του τριγώνου ... β) Είναι :
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Έγκεντρο επί κύκλου
Έστω το αντιδιαμετρικό του .
Ισχύει από δύναμη σημείου ότι (1)
Όμως είναι και επιπλέον
Συνεπώς η (1) γίνεται: , δηλαδή το είναι εγγράψιμο.
Αφού το είναι το μέσο του μικρού τόξου (). Άρα η , δηλαδή η είναι διχοτόμος της .
Ταυτόχρονα είναι .
Επομένως το είναι έγκεντρο του .
Εφαρμόζουμε θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγράψιμο :
Ισχύει από δύναμη σημείου ότι (1)
Όμως είναι και επιπλέον
Συνεπώς η (1) γίνεται: , δηλαδή το είναι εγγράψιμο.
Αφού το είναι το μέσο του μικρού τόξου (). Άρα η , δηλαδή η είναι διχοτόμος της .
Ταυτόχρονα είναι .
Επομένως το είναι έγκεντρο του .
Εφαρμόζουμε θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγράψιμο :
Houston, we have a problem!
Re: Έγκεντρο επί κύκλου
Με αντιδιαμετρικό του .
μας εξασφαλίζουν ότι:
Η δέσμη είναι αρμονική και η εσωτερική διχοτόμος του .
Ομοίως η εσωτερική διχοτόμος στο και έτσι το είναι έγκεντρο στο
Re: Έγκεντρο επί κύκλου
... συνεπώς : , δηλαδή και ομοίως :
και τελικά : , το οποίο είναι το β) ζητούμενο .
και τελικά : , το οποίο είναι το β) ζητούμενο .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Έγκεντρο επί κύκλου
Αλλιώς για το β). Αν είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου τότε εύκολα προκύπτει ότι
που σημαίνει ότι οι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
που σημαίνει ότι οι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες