Έγκεντρο επί κύκλου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10077
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Έγκεντρο επί κύκλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 05, 2018 7:38 pm

Έγκεντρο  επί  κύκλου.png
Έγκεντρο επί κύκλου.png (10.4 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές
Στην προέκταση της ακτίνας OA , κύκλου (O,r) , θεωρούμε σημείο S , ώστε : AS=r .

Από το μέσο M της OA διέρχεται μεταβλητή χορδή BC . Δείξτε ότι :

α) Το A είναι το έγκεντρο του τριγώνου SBC ... β) Είναι : BC=\dfrac{SB+SC}{2}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 740
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Έγκεντρο επί κύκλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Δεκ 05, 2018 8:16 pm

Έστω D το αντιδιαμετρικό του A.

Ισχύει από δύναμη σημείου ότι DM\cdot AM=BM\cdot CM (1)

Όμως είναι AM=OM και επιπλέον SA+AM=DO+OM\Leftrightarrow SM=DM

Συνεπώς η (1) γίνεται: SM\cdot OM=BM\cdot CM, δηλαδή το BOCS είναι εγγράψιμο.

Αφού το O είναι το μέσο του μικρού τόξου BC (OB=OC). Άρα η SO, δηλαδή η SA είναι διχοτόμος της \widehat{BSC}.

Ταυτόχρονα είναι \widehat{BAC}=180^o-\widehat{BDC}=180^o-\dfrac{\widehat{BOC}}{2}=180^o-\dfrac{180^o-\widehat{BSC}}{2}=90^o+\dfrac{\widehat{BSC}}{2}.

Επομένως το A είναι έγκεντρο του SBC.

Εφαρμόζουμε θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγράψιμο BOCS:

SB\cdot CO+SC\cdot BO=BC\cdot SO\Leftrightarrow r(SB+SC)=2r\cdot BC\Leftrightarrow BC=\dfrac{SB+SC}{2}


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6005
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Έγκεντρο επί κύκλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 06, 2018 2:06 am

Εγκεντρο επι κύκλου.png
Εγκεντρο επι κύκλου.png (23.43 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές

Με D αντιδιαμετρικό του A.

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{DM}}{{DS}} = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\, \hfill \\ 
  \widehat {DBA} = 90^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. μας εξασφαλίζουν ότι:

Η δέσμη B\,(M,S,A,D) είναι αρμονική και η BA εσωτερική διχοτόμος του \vartriangle BMS.

Ομοίως η CA εσωτερική διχοτόμος στο \vartriangle CMS και έτσι το A είναι έγκεντρο στο \vartriangle SBC


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10077
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Έγκεντρο επί κύκλου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 06, 2018 10:12 am

... συνεπώς : \dfrac{BM}{BS}=\dfrac{AM}{AS}=\dfrac{1}{2} , δηλαδή BM=\dfrac{1}{2}BS και ομοίως : CM=\dfrac{1}{2}CS

και τελικά : BM+CM=BC=\dfrac{1}{2}(SB+SC) , το οποίο είναι το β) ζητούμενο .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7297
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Έγκεντρο επί κύκλου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 06, 2018 11:23 am

Αλλιώς για το β). Αν G είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου SBC τότε εύκολα προκύπτει ότι AG||BC,

που σημαίνει ότι οι SC, BC, SB είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7297
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Έγκεντρο επί κύκλου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 06, 2018 12:53 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 05, 2018 7:38 pm
Έγκεντρο επί κύκλου.pngΣτην προέκταση της ακτίνας OA , κύκλου (O,r) , θεωρούμε σημείο S , ώστε : AS=r .

Από το μέσο M της OA διέρχεται μεταβλητή χορδή BC . Δείξτε ότι :

α) Το A είναι το έγκεντρο του τριγώνου SBC ... β) Είναι : BC=\dfrac{SB+SC}{2}
α) Stewart στο OBS με τέμνουσα BM:
Έγκεντρο επί κύκλου.png
Έγκεντρο επί κύκλου.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 36 φορές
\displaystyle {R^2}\frac{{3R}}{2} + S{B^2}\frac{R}{2} = 2R \cdot B{M^2} + 2R\frac{R}{2} \cdot \frac{{3R}}{2} \Leftrightarrow \boxed{SB = 2BM} και ομοίως \boxed{SC=2CM}

\displaystyle \frac{{MA}}{{AS}} = \frac{1}{2} = \frac{{BM}}{{SB}} = \frac{{CM}}{{SC}} = \frac{{BC}}{{SB + SC}}, άρα A έγκεντρο και β) \boxed{\frac{{SB + SC}}{2} = BC}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες