Έγκεντρο επί κύκλου

KARKAR

: Έγκεντρο επί κύκλου.png (10.4 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

Στην προέκταση της ακτίνας

, κύκλου

, θεωρούμε σημείο

, ώστε :

.

Από το μέσο

της

διέρχεται μεταβλητή χορδή

. Δείξτε ότι :

α) Το

είναι το έγκεντρο του τριγώνου SBC

... β) Είναι : $BC=\dfrac{SB+SC}{2}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος

Έστω

το αντιδιαμετρικό του

.

Ισχύει από δύναμη σημείου ότι $DM\cdot AM=BM\cdot CM$ (1)

Όμως είναι AM=OM

και επιπλέον $SA+AM=DO+OM\Leftrightarrow SM=DM$

Συνεπώς η (1) γίνεται: $SM\cdot OM=BM\cdot CM$ , δηλαδή το BOCS

είναι εγγράψιμο.

Αφού το

είναι το μέσο του μικρού τόξου

(

). Άρα η

, δηλαδή η

είναι διχοτόμος της $\widehat{BSC}$ .

Ταυτόχρονα είναι $\widehat{BAC}=180^o-\widehat{BDC}=180^o-\dfrac{\widehat{BOC}}{2}=180^o-\dfrac{180^o-\widehat{BSC}}{2}=90^o+\dfrac{\widehat{BSC}}{2}$ .

Επομένως το

είναι έγκεντρο του SBC

.

Εφαρμόζουμε θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγράψιμο BOCS

:

$SB\cdot CO+SC\cdot BO=BC\cdot SO\Leftrightarrow r(SB+SC)=2r\cdot BC\Leftrightarrow BC=\dfrac{SB+SC}{2}$

: Εγκεντρο επι κύκλου.png (23.43 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές

Με

αντιδιαμετρικό του

.

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{DM}}{{DS}} = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\, \hfill \\ \widehat {DBA} = 90^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.$ μας εξασφαλίζουν ότι:

Η δέσμη $B\,(M,S,A,D)$ είναι αρμονική και η

εσωτερική διχοτόμος του $\vartriangle BMS$ .

Ομοίως η

εσωτερική διχοτόμος στο $\vartriangle CMS$ και έτσι το

είναι έγκεντρο στο $\vartriangle SBC$

KARKAR

... συνεπώς : $\dfrac{BM}{BS}=\dfrac{AM}{AS}=\dfrac{1}{2}$ , δηλαδή $BM=\dfrac{1}{2}BS$ και ομοίως : $CM=\dfrac{1}{2}CS$

και τελικά : $BM+CM=BC=\dfrac{1}{2}(SB+SC)$ , το οποίο είναι το β) ζητούμενο .

Αλλιώς για το β). Αν

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου SBC

τότε εύκολα προκύπτει ότι AG||BC,

που σημαίνει ότι οι SC, BC, SB

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 05, 2018 7:38 pm
Έγκεντρο επί κύκλου.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , κύκλου , θεωρούμε σημείο , ώστε : .

Από το μέσο της διέρχεται μεταβλητή χορδή . Δείξτε ότι :

α) Το είναι το έγκεντρο του τριγώνου ... β) Είναι : $BC=\dfrac{SB+SC}{2}$

α) Stewart στο OBS

με τέμνουσα BM:

: Έγκεντρο επί κύκλου.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές

$\displaystyle {R^2}\frac{{3R}}{2} + S{B^2}\frac{R}{2} = 2R \cdot B{M^2} + 2R\frac{R}{2} \cdot \frac{{3R}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{SB = 2BM}$ και ομοίως $\boxed{SC=2CM}$

$\displaystyle \frac{{MA}}{{AS}} = \frac{1}{2} = \frac{{BM}}{{SB}} = \frac{{CM}}{{SC}} = \frac{{BC}}{{SB + SC}},$ άρα

έγκεντρο και β) $\boxed{\frac{{SB + SC}}{2} = BC}$

Έγκεντρο επί κύκλου

Έγκεντρο επί κύκλου

Re: Έγκεντρο επί κύκλου

Re: Έγκεντρο επί κύκλου

Re: Έγκεντρο επί κύκλου

Re: Έγκεντρο επί κύκλου

Re: Έγκεντρο επί κύκλου

Μέλη σε σύνδεση