Καθετότητα από τριπλή ισότητα

#1

: Καθετότητα από τριπλή ισότητα.png (13.27 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

Έστω

το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα τριγώνου ABC

και τα σημεία D, E

των ημιευθειών

AB, CB

αντίστοιχα, ώστε AD=AC=CE.

Να δείξετε ότι $IO\bot DE.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 22, 2018 8:00 pm
Καθετότητα από τριπλή ισότητα.png
Έστω το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα τριγώνου και τα σημεία των ημιευθειών αντίστοιχα, ώστε Να δείξετε ότι $IO\bot DE.$

: καθετότητα από τριπλή ισότητα.png (28.18 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Αν και είναι οι ορθές προβολές των στις αντίστοιχα, τότε θα είναι

$\dfrac{{MK}}{{NL}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{c}{2} - AK} \right|}}{{\left| {\dfrac{a}{2} - CL} \right|}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{c}{2} - \left( {\tau - a} \right)} \right|}}{{\left| {\dfrac{a}{2} - \left( {\tau - b} \right)} \right|}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{a - b}}{2}} \right|}}{{\left| {\dfrac{{b - c}}{2}} \right|}}$ $= \dfrac{{\left| {a - b} \right|}}{{\left| {b - c} \right|}} = \dfrac{{BE}}{{BD}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{MK}}{{NL}} = \dfrac{{BE}}{{BD}}}:\left( 1 \right)$

Από τη σχέση (1) σύμφωνα με το Stathis Koutras’ Theorem θα είναι $OI\bot DE$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Φανης Θεοφανιδης · #3

Και ένα ακόμη ερώτημα στην όμορφη άσκηση του Γιώργου.

Αν $\angle B=30^{0}$ , δείξτε ότι OI=DE

.

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 22, 2018 10:38 pm
Και ένα ακόμη ερώτημα στην όμορφη άσκηση του Γιώργου.

Αν $\angle B=30^{0}$ , δείξτε ότι .

Μιας και το ξεκίνησα ας δείξουμε και το επί πλέον ερώτημα του Φάνη. Στο σχήμα της προηγούμενης ανάρτησής μου.

Αν είναι οι ορθές προβολές των στις αντίστοιχα τότε θα είναι $EE'\mathop = \limits^{\angle B = {{30}^0},\angle EE'D = {{90}^0}} \dfrac{{BE}}{2} = \dfrac{{\left| {a - b} \right|}}{2}$ και

$OO'\mathop = \limits^{OO'MK\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o} MK = \left| {\dfrac{c}{2} - \left( {\tau - a} \right)} \right| = \dfrac{{\left| {a - b} \right|}}{2}$ και με $\angle DE{E}'=\angle IO{O}'$ (κάθετες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού) θα είναι $\vartriangle DE{E}'=\vartriangle IO{O}'$ (ορθογώνια με πλευρά και οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες) , οπότε και και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Καθετότητα από τριπλή ισότητα

Καθετότητα από τριπλή ισότητα

Re: Καθετότητα από τριπλή ισότητα

Re: Καθετότητα από τριπλή ισότητα

Re: Καθετότητα από τριπλή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση