Καθετότητα από τριπλή ισότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8969
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Καθετότητα από τριπλή ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 22, 2018 8:00 pm

Καθετότητα από τριπλή ισότητα.png
Καθετότητα από τριπλή ισότητα.png (13.27 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές
Έστω I, O το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα τριγώνου ABC και τα σημεία D, E των ημιευθειών

AB, CB αντίστοιχα, ώστε AD=AC=CE. Να δείξετε ότι IO\bot DE.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3991
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Καθετότητα από τριπλή ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:44 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 22, 2018 8:00 pm
Καθετότητα από τριπλή ισότητα.png
Έστω I, O το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα τριγώνου ABC και τα σημεία D, E των ημιευθειών AB, CB αντίστοιχα, ώστε AD=AC=CE. Να δείξετε ότι IO\bot DE.
καθετότητα από τριπλή ισότητα.png
καθετότητα από τριπλή ισότητα.png (28.18 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές
Αν K,L και M,N είναι οι ορθές προβολές των I,O στις AB,BC αντίστοιχα, τότε θα είναι

\dfrac{{MK}}{{NL}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{c}{2} - AK} \right|}}{{\left| {\dfrac{a}{2} - CL} \right|}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{c}{2} - \left( {\tau  - a} \right)} \right|}}{{\left| {\dfrac{a}{2} - \left( {\tau  - b} \right)} \right|}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{a - b}}{2}} \right|}}{{\left| {\dfrac{{b - c}}{2}} \right|}}  = \dfrac{{\left| {a - b} \right|}}{{\left| {b - c} \right|}} = \dfrac{{BE}}{{BD}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{MK}}{{NL}} = \dfrac{{BE}}{{BD}}}:\left( 1 \right)

Από τη σχέση (1) σύμφωνα με το
Stathis Koutras’ Theorem θα είναι OI\bot DE και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1158
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Καθετότητα από τριπλή ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Νοέμ 22, 2018 10:38 pm

Και ένα ακόμη ερώτημα στην όμορφη άσκηση του Γιώργου.

Αν \angle B=30^{0}, δείξτε ότι OI=DE.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3991
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Καθετότητα από τριπλή ισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Νοέμ 23, 2018 9:41 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Πέμ Νοέμ 22, 2018 10:38 pm
Και ένα ακόμη ερώτημα στην όμορφη άσκηση του Γιώργου.

Αν \angle B=30^{0}, δείξτε ότι OI=DE.
Μιας και το ξεκίνησα ας δείξουμε και το επί πλέον ερώτημα του Φάνη. Στο σχήμα της προηγούμενης ανάρτησής μου.

Αν {E}',{O}' είναι οι ορθές προβολές των E,O στις AB,IK αντίστοιχα τότε θα είναι EE'\mathop  = \limits^{\angle B = {{30}^0},\angle EE'D = {{90}^0}} \dfrac{{BE}}{2} = \dfrac{{\left| {a - b} \right|}}{2} και

OO'\mathop  = \limits^{OO'MK\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o} MK = \left| {\dfrac{c}{2} - \left( {\tau  - a} \right)} \right| = \dfrac{{\left| {a - b} \right|}}{2} και με \angle DE{E}'=\angle IO{O}' (κάθετες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού) θα είναι \vartriangle DE{E}'=\vartriangle IO{O}' (ορθογώνια με πλευρά και οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες) , οπότε και DE=IO και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες