Περιμετρική

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12747
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Περιμετρική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 19, 2018 1:27 pm

Περιμετρική.png
Περιμετρική.png (12.74 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές
Από σημείο S εκτός κύκλου (O) φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα SA,SB και ονομάσαμε

M,N τα μέσα τους . Από σημείο T που κινείται στο εσωτερικό του τμήματος SM ,

φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα TQ , το οποίο τέμνει το τμήμα MN στο σημείο P .

Δείξτε ότι η περίμετρος του τριγώνου STP παραμένει σταθερή .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10749
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περιμετρική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 19, 2018 5:24 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2018 1:27 pm
Περιμετρική.pngΑπό σημείο S εκτός κύκλου (O) φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα SA,SB και ονομάσαμε

M,N τα μέσα τους . Από σημείο T που κινείται στο εσωτερικό του τμήματος SM ,

φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα TQ , το οποίο τέμνει το τμήμα MN στο σημείο P .

Δείξτε ότι η περίμετρος του τριγώνου STP παραμένει σταθερή .

Θα δείξω ότι η περίμετρος είναι ίση με SA=SB. Επειδή όμως,

TP+TS+PS=TQ-PQ+SA-TA+PS=SA+PS-PQ, αρκεί να δειχθεί ότι PS=PQ.
Περιμετρική.png
Περιμετρική.png (19.57 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές
Εφαρμόζω το θεώρημα Stewart στο τρίγωνο SMN με τέμνουσα SP:

\displaystyle P{S^2} \cdot MN + MN \cdot MP \cdot PN = S{M^2} \cdot MN = \mathop  \Leftrightarrow \limits^{SM = MA} \boxed{P{S^2} = M{O^2} - {R^2} - MP \cdot PN} (1)

Είναι ακόμα \displaystyle P{Q^2} = P{O^2} - {R^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{P{S^2} - P{Q^2} = M{O^2} - P{O^2} - PM \cdot PN} (2)

Αλλά, \displaystyle M{O^2} - P{O^2} = M{H^2} - H{P^2} = MP(MH - HP) = MP(HN - HP) = MP \cdot PN\mathop  \Rightarrow \limits^{(2)} \boxed{PS=PQ}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12747
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Περιμετρική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 21, 2018 7:44 am

Περιμετρική 2.png
Περιμετρική 2.png (11.24 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές
Γιώργο φαίνεται ότι η απόδειξη της ισότητας PS=PQ είναι πολύ δύσκολη . Ας δοκιμάσουμε

το εξής : Αν τα AA',BB' είναι τα κοινά εξωτερικά εφαπτόμενα τμήματα δύο κύκλων , τότε

η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων , είναι ασφαλώς ο ριζικός άξονας των δύο

κύκλων . Εκφυλίζοντας τον μικρό κύκλο σε σημείο ( το S ) , τότε για κάθε σημείο της ευθείας

MN ( ριζικός άξονας κύκλου και σημείου ) , θα έχουμε την ποθούμενη ισότητα :!:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10749
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περιμετρική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 21, 2018 11:23 am

Σωστά, Θανάση. Η λύση είναι πολύ πιο γρήγορη, αλλά δεν είναι και τόσο εύκολο να το σκεφτείς
(εκτός κι αν έχεις κατασκευάσει την άσκηση :) )!


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12747
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Περιμετρική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 21, 2018 11:58 am

george visvikis έγραψε:
Τετ Νοέμ 21, 2018 11:23 am
(εκτός κι αν έχεις κατασκευάσει την άσκηση :) )!

Για να είμαι ειλικρινής , ούτε εγώ το είχα σκεφθεί ποτέ , μέχρι τη στιγμή που

κάπου το είδα και αμέσως είπα : Για κοίτα τι ωραία σκέψη !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης