Σταθερό άθροισμα γινομένων

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8932
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Σταθερό άθροισμα γινομένων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 12, 2018 11:45 am

Σταθερό άθροισμα γινομένων.png
Σταθερό άθροισμα γινομένων.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές
Το M είναι τυχαίο σημείο του έγκυκλου ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a και D, E, F είναι οι προβολές του στις

BC, AC, AB αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το \displaystyle MD \cdot ME + ME \cdot MF + MF \cdot MD είναι σταθερό.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1833
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Σταθερό άθροισμα γινομένων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Νοέμ 12, 2018 9:54 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Νοέμ 12, 2018 11:45 am
Σταθερό άθροισμα γινομένων.png
Το M είναι τυχαίο σημείο του έγκυκλου ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a και D, E, F είναι οι προβολές του στις

BC, AC, AB αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το \displaystyle MD \cdot ME + ME \cdot MF + MF \cdot MD είναι σταθερό.
Ας είναι  1 η ακτίνα του έγκυκλου,  2 η ακτίνα του περίκυκλου,  O το κέντρο του τριγώνου και  t η γωνία που σχηματίζει η OM με την BDC. Τότε


ME=\dfrac{2-sint+\sqrt{3}cost}{2},\,\,\, MF=\dfrac{2-sint-\sqrt{3}cost}{2},\,\,\,MD=1+sint

και οι πράξεις δίνουν αποτέλεσμα 9/4 :P


ἴδμεν ψεύδεα πολλὰ λέγειν ἐτύμοισιν ὁμοῖα,
ἴδμεν δ' εὖτ' ἐθέλωμεν ἀληθέα γηρύσασθαι
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σταθερό άθροισμα γινομένων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Δεκ 21, 2018 11:41 am

george visvikis έγραψε:
Δευ Νοέμ 12, 2018 11:45 am
Σταθερό άθροισμα γινομένων.png
Το M είναι τυχαίο σημείο του έγκυκλου ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a και D, E, F είναι οι προβολές του στις

BC, AC, AB αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το \displaystyle MD \cdot ME + ME \cdot MF + MF \cdot MD είναι σταθερό.

Για να μην μείνει μετέωρη η αφορμή εδώ...

Το τρίγωνο D E F είναι το ποδικό του σημείου M. Αν O το κέντρο του ισόπλευρου τριγώνου και R,r οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC, θα έχουμε d=MO=r. Από την παραπάνω παραπομπή για τον λόγο των εμβαδών του ποδικού τριγώνου προς το εμβαδόν του ισόπλευρου έχουμε:

\displaystyle \dfrac{S_{D E F}}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4} \left |1-\dfrac{r^2}{R^2} \right | \Rightarrow S_{D E F}=  \dfrac{1}{4} \left (1-\left (\dfrac{1}{2}\right )^2 \right )S_{ABC} \Rightarrow

\displaystyle \dfrac{1}{2}  MD \cdot ME \cdot \sin 120^0 +  \dfrac{1}{2} ME \cdot MF \cdot \sin 120^0 + \dfrac{1}{2} MF \cdot MD \cdot \sin 120^0  = \dfrac{3}{16} S_{ABC} \Rightarrow

\displaystyle MD \cdot ME + ME \cdot MF + MF \cdot MD = 2 \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{3}{16}S_{ABC} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} S_{ABC} = const.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης