mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:32 pm**

: Μέγιστο γινόμενο.png (7.52 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

Οι κύκλοι (O,2)

και

εφάπτονται εξωτερικά . Η εφαπτομένη του (O)

σε κινητό

σημείο του

, τέμνει τον (K)

στα σημεία P,T

. Υπολογίστε το μέγιστο του $SP\cdot PT$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 09, 2018 9:04 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:32 pm
Μέγιστο γινόμενο.png Οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά . Η εφαπτομένη του σε κινητό

σημείο του , τέμνει τον στα σημεία . Υπολογίστε το μέγιστο του $SP\cdot PT$

: Μέγιστο γινομένου 11.png (16.05 KiB) Προβλήθηκε 644 φορές

Το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν το

είναι στην προέκταση του

και είναι $\displaystyle {\left( {SP \cdot PT} \right)_{\max }} = 3$

Πράγματι, σ' αυτή τη θέση το

είναι μέσο του

και $\displaystyle SP \cdot PT = \frac{{S{T^2}}}{4} = \frac{{O{T^2} - O{S^2}}}{4} = 3$

Αρκεί να δείξω ότι σε κάθε άλλη θέση S_1P_1T_1,

είναι $S_1P_1\cdot P_1T_1< 3.$

: Μέγιστο γινομένου 11.β.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

Το τρίγωνο OT_1T

είναι αμβλυγώνιο (η διάμεσος $\displaystyle {T_1}A < 2 = \frac{{OT}}{2}$ ), άρα $\displaystyle O{T_1} < 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 = O{T_1}^2 - 4 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {S_1}{T_1}^2 < {4^2} - 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 < 12$ Αλλά, $\displaystyle {S_1}{P_1} \cdot {P_1}{T_1} < \frac{{{S_1}{T_1}^2}}{4} = 3$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 09, 2018 10:20 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:04 am

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:32 pm
Μέγιστο γινόμενο.png Οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά . Η εφαπτομένη του σε κινητό

σημείο του , τέμνει τον στα σημεία . Υπολογίστε το μέγιστο του $SP\cdot PT$
Μέγιστο γινομένου 11.png
Το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν το είναι στην προέκταση του και είναι $\displaystyle {\left( {SP \cdot PT} \right)_{\max }} = 3$

Πράγματι, σ' αυτή τη θέση το είναι μέσο του και $\displaystyle SP \cdot PT = \frac{{S{T^2}}}{4} = \frac{{O{T^2} - O{S^2}}}{4} = 3$

Αρκεί να δείξω ότι σε κάθε άλλη θέση είναι $S_1P_1\cdot P_1T_1< 3.$
Μέγιστο γινομένου 11.β.png
Το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο (η διάμεσος $\displaystyle {T_1}A < 2 = \frac{{OT}}{2}$ ), άρα $\displaystyle O{T_1} < 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 = O{T_1}^2 - 4 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {S_1}{T_1}^2 < {4^2} - 4 \Leftrightarrow {S_1}{T_1}^2 < 12$ Αλλά, $\displaystyle {S_1}{P_1} \cdot {P_1}{T_1} < \frac{{{S_1}{T_1}^2}}{4} = 3$

mathematica.gr

Μέγιστο γινομένου 11

Μέγιστο γινομένου 11

Re: Μέγιστο γινομένου 11

Re: Μέγιστο γινομένου 11