Επεκτατική ισότητα

KARKAR · #1

: Επεκτατική ισότητα.png (18.14 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές

Στο τετράπλευρο ABCD

με

, είναι $AS\parallel BC$ και $BT \parallel AD$ , ενώ οι AL,BN

είναι οι διχοτόμοι των $\widehat{DAS} , \widehat{CBT}$ , αντίστοιχα . ( Τα S,L,N,T

είναι σημεία της ευθείας

)

Δείξτε ότι : LD=CN

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο με , είναι $AS\parallel BC$ και $BT \parallel AD$ , ενώ οι

είναι οι διχοτόμοι των $\widehat{DAS} , \widehat{CBT}$ , αντίστοιχα . ( Τα είναι σημεία της ευθείας )

Δείξτε ότι : .

Έστω τα σημεία τομής των εκ των παραλλήλων προς τις με τις αντίστοιχα.

Τότε $\dfrac{{DM}}{{DA}}\mathop = \limits^{LM\parallel BC\parallel AS} \dfrac{{DL}}{{DS}}\mathop = \limits^{\vartriangle ADS \sim \vartriangle BTS\left( {o\mu o\lambda o\gamma \alpha \,\,\tau \mu \eta \mu \alpha \tau \alpha ...} \right)}$

$\dfrac{{TN}}{{TC}}\mathop = \limits^{NK\parallel AD\parallel TB} \dfrac{{KB}}{{BC}}\mathop \Rightarrow \limits^{DA = BC} DM = BK \Rightarrow AM = CK$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle KAL\,\,\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varepsilon \varsigma } \boxed{LM = CK}:\left( 1 \right)$

Από την προφανή ομοιότητα (γωνιακό κριτήριο λόγω παραλληλιών) των τριγώνων $\vartriangle DLM,\vartriangle NCK$ από τη σχέση $\left( 1 \right)$ προκύπτει η ισότητά τους και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο με , είναι $AS\parallel BC$ και $BT \parallel AD$ , ενώ οι

είναι οι διχοτόμοι των $\widehat{DAS} , \widehat{CBT}$ , αντίστοιχα . ( Τα είναι σημεία της ευθείας )

Δείξτε ότι : .

: Επεκτατική ισότητα.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

$\displaystyle S\widehat AD = C\widehat BT$ (οξείες με πλευρές παράλληλες), άρα AL||BN

και $\displaystyle L\widehat AD = N\widehat BC,A\widehat LD = 180^\circ - C\widehat NB.$

Επειδή όμως AD=BC,

θα είναι $\boxed{LD=CN}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο με , είναι $AS\parallel BC$ και $BT \parallel AD$ , ενώ οι

είναι οι διχοτόμοι των $\widehat{DAS} , \widehat{CBT}$ , αντίστοιχα . ( Τα είναι σημεία της ευθείας )

Δείξτε ότι : .

Ας είναι

το σημείο τομής των ευθειών $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ . Έστω ακόμα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ τα μέσα των πλευρών $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ του τετραπλεύρου ABCD

.

Επειδή οι γωνίες $\widehat {OAS}\,\,,\,\,\widehat {AOB}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {TBO}$ έχουν τις πλευρές τους παράλληλες οι διχοτόμοι τους θα είναι παράλληλες.

: Επεκτατική ισότητα.png (27.3 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές

Δηλαδή οι $AL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BN$ θα είναι παράλληλες προς τη διχοτόμου

του $\vartriangle OAB$ . .

Όμως ( γνωστό λήμμα) η

είναι παράλληλη στη

, διάμεσο του τραπεζίου

ABNL

, οπότε : $\left\{ \begin{gathered} ML = MN \hfill \\ MD = MC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow ML - MD = MN - MC \Rightarrow \boxed{DL = CN}$

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 01, 2018 8:01 am

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο με , είναι $AS\parallel BC$ και $BT \parallel AD$ , ενώ οι

είναι οι διχοτόμοι των $\widehat{DAS} , \widehat{CBT}$ , αντίστοιχα . ( Τα είναι σημεία της ευθείας )

Δείξτε ότι : .
Επεκτατική ισότητα.png
$\displaystyle S\widehat AD = C\widehat BT$ (οξείες με πλευρές παράλληλες), άρα και $\displaystyle L\widehat AD = N\widehat BC,A\widehat LD = 180^\circ - C\widehat NB.$

Επειδή όμως θα είναι $\boxed{LD=CN}$

…Αφού οι περίκυκλοι των τριγώνων $\vartriangle ADL,\vartriangle BCN$ είναι ίσοι !

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο με , είναι $AS\parallel BC$ και $BT \parallel AD$ , ενώ οι

είναι οι διχοτόμοι των $\widehat{DAS} , \widehat{CBT}$ , αντίστοιχα . ( Τα είναι σημεία της ευθείας )

Δείξτε ότι : .

$\displaystyle AS//CB$ και $\displaystyle BT//AD \Rightarrow$ $\displaystyle \angle DAS = \angle DEB = \angle EBT \Rightarrow x = y$ και $\displaystyle \theta + \phi = {180^0}$

(Είναι $\displaystyle \theta = S + x = \angle BCN + y = {180^0} - \phi \Rightarrow \theta + \phi = {180^0}$ )

Άρα $\displaystyle \frac{{\left( {ADL} \right)}}{{\left( {BCN} \right)}} = \frac{{LD \cdot LA}}{{NC \cdot NB}} = \frac{{LA \cdot DA}}{{BC \cdot NB}} \Rightarrow \boxed{LD = NC}$

: E.I.png (22.09 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές

STOPJOHN · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο με , είναι $AS\parallel BC$ και $BT \parallel AD$ , ενώ οι

είναι οι διχοτόμοι των $\widehat{DAS} , \widehat{CBT}$ , αντίστοιχα . ( Τα είναι σημεία της ευθείας )

Δείξτε ότι : .

$NB//SA,\hat{CBA}+2\hat{SAL}+\hat{DAB}=180^{0}, BT//AD,2\hat{CBN}+\hat{CBA}+\hat{DAB}=180^{0}$

Οπότε $\hat{SAB}=\hat{CBT}$

Αν LD=x,CN=y

τότε απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου

$\dfrac{x}{a}=\dfrac{SL}{AS},(1), \dfrac{y}{a}=\dfrac{NT}{BT},(2)$

Απο τα όμοια τρίγωνα $ALD,NBT,\dfrac{NT}{BT}=\dfrac{x}{a}$

και απο τις προηγούμενες σχέσεις x=y

Γιάννης

Επεκτατική ισότητα

Επεκτατική ισότητα

Re: Επεκτατική ισότητα

Re: Επεκτατική ισότητα

Re: Επεκτατική ισότητα

Re: Επεκτατική ισότητα

Re: Επεκτατική ισότητα

Re: Επεκτατική ισότητα

Μέλη σε σύνδεση