Επεκτατική ισότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12474
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επεκτατική ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm

Επεκτατική  ισότητα.png
Επεκτατική ισότητα.png (18.14 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές
Στο τετράπλευρο ABCD με AD=BC , είναι AS\parallel BC και BT \parallel AD , ενώ οι AL,BN

είναι οι διχοτόμοι των \widehat{DAS} , \widehat{CBT} , αντίστοιχα . ( Τα S,L,N,T είναι σημεία της ευθείας DC )

Δείξτε ότι : LD=CN .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4101
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Επεκτατική ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Νοέμ 01, 2018 7:54 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο ABCD με AD=BC , είναι AS\parallel BC και BT \parallel AD , ενώ οι AL,BN

είναι οι διχοτόμοι των \widehat{DAS} , \widehat{CBT} , αντίστοιχα . ( Τα S,L,N,T είναι σημεία της ευθείας DC )

Δείξτε ότι : LD=CN .
Έστω M,K τα σημεία τομής των εκ των L,N παραλλήλων προς τις BC,AD με τις AD,BC αντίστοιχα.

Τότε \dfrac{{DM}}{{DA}}\mathop  = \limits^{LM\parallel BC\parallel AS} \dfrac{{DL}}{{DS}}\mathop  = \limits^{\vartriangle ADS \sim \vartriangle BTS\left( {o\mu o\lambda o\gamma \alpha \,\,\tau \mu \eta \mu \alpha \tau \alpha ...} \right)}

\dfrac{{TN}}{{TC}}\mathop  = \limits^{NK\parallel AD\parallel TB} \dfrac{{KB}}{{BC}}\mathop  \Rightarrow \limits^{DA = BC} DM = BK \Rightarrow AM = CK \mathop  \Rightarrow \limits^{\vartriangle KAL\,\,\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varepsilon \varsigma } \boxed{LM = CK}:\left( 1 \right)

Από την προφανή ομοιότητα (γωνιακό κριτήριο λόγω παραλληλιών) των τριγώνων \vartriangle DLM,\vartriangle NCK από τη σχέση \left( 1 \right) προκύπτει η ισότητά τους και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επεκτατική ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 01, 2018 8:01 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο ABCD με AD=BC , είναι AS\parallel BC και BT \parallel AD , ενώ οι AL,BN

είναι οι διχοτόμοι των \widehat{DAS} , \widehat{CBT} , αντίστοιχα . ( Τα S,L,N,T είναι σημεία της ευθείας DC )

Δείξτε ότι : LD=CN .
Επεκτατική ισότητα.png
Επεκτατική ισότητα.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές
\displaystyle S\widehat AD = C\widehat BT (οξείες με πλευρές παράλληλες), άρα AL||BN και \displaystyle L\widehat AD = N\widehat BC,A\widehat LD = 180^\circ  - C\widehat NB.

Επειδή όμως AD=BC, θα είναι \boxed{LD=CN}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7840
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Επεκτατική ισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 01, 2018 8:47 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο ABCD με AD=BC , είναι AS\parallel BC και BT \parallel AD , ενώ οι AL,BN

είναι οι διχοτόμοι των \widehat{DAS} , \widehat{CBT} , αντίστοιχα . ( Τα S,L,N,T είναι σημεία της ευθείας DC )

Δείξτε ότι : LD=CN .
Ας είναι O το σημείο τομής των ευθειών AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC . Έστω ακόμα K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M τα μέσα των πλευρών AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD του τετραπλεύρου ABCD .

Επειδή οι γωνίες \widehat {OAS}\,\,,\,\,\widehat {AOB}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {TBO} έχουν τις πλευρές τους παράλληλες οι διχοτόμοι τους θα είναι παράλληλες.
Επεκτατική ισότητα.png
Επεκτατική ισότητα.png (27.3 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές

Δηλαδή οι AL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BN θα είναι παράλληλες προς τη διχοτόμου OE του \vartriangle OAB. .

Όμως ( γνωστό λήμμα) η OE είναι παράλληλη στη MK, διάμεσο του τραπεζίου

ABNL , οπότε : \left\{ \begin{gathered} 
  ML = MN \hfill \\ 
  MD = MC \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow ML - MD = MN - MC \Rightarrow \boxed{DL = CN}


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4101
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Επεκτατική ισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Νοέμ 01, 2018 10:42 am

george visvikis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 01, 2018 8:01 am
KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο ABCD με AD=BC , είναι AS\parallel BC και BT \parallel AD , ενώ οι AL,BN

είναι οι διχοτόμοι των \widehat{DAS} , \widehat{CBT} , αντίστοιχα . ( Τα S,L,N,T είναι σημεία της ευθείας DC )

Δείξτε ότι : LD=CN .
Επεκτατική ισότητα.png
\displaystyle S\widehat AD = C\widehat BT (οξείες με πλευρές παράλληλες), άρα AL||BN και \displaystyle L\widehat AD = N\widehat BC,A\widehat LD = 180^\circ  - C\widehat NB.

Επειδή όμως AD=BC, θα είναι \boxed{LD=CN}
:coolspeak: …Αφού οι περίκυκλοι των τριγώνων \vartriangle ADL,\vartriangle BCN είναι ίσοι !


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2035
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Επεκτατική ισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Νοέμ 01, 2018 2:55 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο ABCD με AD=BC , είναι AS\parallel BC και BT \parallel AD , ενώ οι AL,BN

είναι οι διχοτόμοι των \widehat{DAS} , \widehat{CBT} , αντίστοιχα . ( Τα S,L,N,T είναι σημεία της ευθείας DC )

Δείξτε ότι : LD=CN .

\displaystyle AS//CB και \displaystyle BT//AD \Rightarrow \displaystyle \angle DAS = \angle DEB = \angle EBT \Rightarrow x = y και \displaystyle \theta  + \phi  = {180^0}

(Είναι \displaystyle \theta  = S + x = \angle BCN + y = {180^0} - \phi  \Rightarrow \theta  + \phi  = {180^0})

Άρα \displaystyle \frac{{\left( {ADL} \right)}}{{\left( {BCN} \right)}} = \frac{{LD \cdot LA}}{{NC \cdot NB}} = \frac{{LA \cdot DA}}{{BC \cdot NB}} \Rightarrow \boxed{LD = NC}
E.I.png
E.I.png (22.09 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Πέμ Νοέμ 01, 2018 4:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2061
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Επεκτατική ισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Νοέμ 01, 2018 3:47 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 11:01 pm
Επεκτατική ισότητα.pngΣτο τετράπλευρο ABCD με AD=BC , είναι AS\parallel BC και BT \parallel AD , ενώ οι AL,BN

είναι οι διχοτόμοι των \widehat{DAS} , \widehat{CBT} , αντίστοιχα . ( Τα S,L,N,T είναι σημεία της ευθείας DC )

Δείξτε ότι : LD=CN .
NB//SA,\hat{CBA}+2\hat{SAL}+\hat{DAB}=180^{0}, BT//AD,2\hat{CBN}+\hat{CBA}+\hat{DAB}=180^{0}


Οπότε \hat{SAB}=\hat{CBT}


Αν LD=x,CN=y τότε απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου

\dfrac{x}{a}=\dfrac{SL}{AS},(1), \dfrac{y}{a}=\dfrac{NT}{BT},(2)

Απο τα όμοια τρίγωνα ALD,NBT,\dfrac{NT}{BT}=\dfrac{x}{a}

και απο τις προηγούμενες σχέσεις x=y


Γιάννης
Συνημμένα
Επεκτατική ισότητα.png
Επεκτατική ισότητα.png (52.6 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης