Γωνία ισοσκελούς

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γωνία ισοσκελούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 31, 2018 11:42 am

Γωνία  ισοσκελούς.png
Γωνία ισοσκελούς.png (8.23 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές
Προεκτείνω την πλευρά BA=a , του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα AD=d

και την BC κατά τμήμα CE=a+d . Δείξτε ότι : ED=EA και υπολογίστε το d ,

( συναρτήσει του a ) , ώστε να είναι : \widehat{ADE}=75^0 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνία ισοσκελούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Οκτ 31, 2018 1:20 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 11:42 am
Γωνία ισοσκελούς.pngΠροεκτείνω την πλευρά BA=a , του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα AD=d

και την BC κατά τμήμα CE=a+d . Δείξτε ότι : ED=EA και υπολογίστε το d ,

( συναρτήσει του a ) , ώστε να είναι : \widehat{ADE}=75^0 .
Γωνία ισοσκελούς.png
Γωνία ισοσκελούς.png (23.22 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

Φέρνω κάθετη στο A επί την BA που τέμνει την CE στο Z . Ακόμα θεωρώ M το μέσο του AD.

Προφανώς : CZ = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,ZE = d . Επειδή, \dfrac{{BA}}{{AM}} = \dfrac{a}{{\dfrac{d}{2}}} = \dfrac{{2a}}{d} = \dfrac{{BZ}}{{ZE}} \Rightarrow EM//ZA

και άρα EM \bot AD δηλαδή στο τρίγωνο EAD το ύψος και η διάμεσος από το E συμπίπτον , οπότε EA = ED.

Αν τώρα \widehat D = 75^\circ τότε αναγκαστικά \widehat {DEM} = \widehat {MEA} = \widehat {AEZ} = 15^\circ  \Rightarrow ZE = ZA = d με συνέπεια \boxed{d = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 } ( ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς 2a)


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1765
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γωνία ισοσκελούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Οκτ 31, 2018 2:43 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 11:42 am
Γωνία ισοσκελούς.pngΠροεκτείνω την πλευρά BA=a , του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα AD=d

και την BC κατά τμήμα CE=a+d . Δείξτε ότι : ED=EA και υπολογίστε το d ,

( συναρτήσει του a ) , ώστε να είναι : \widehat{ADE}=75^0 .

Με \displaystyle CF = d \Rightarrow DF//AC \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{a}{{a + d}} \Rightarrow {a^2} = x\left( {a + d} \right) = xFD

Άρα η \displaystyle EF εφάπτεται του κύκλου \displaystyle \left( {D,P,E} \right) συνεπώς \displaystyle \phi  = \omega οπότε \displaystyle \angle ADE = {60^0} + \phi  = {60^0} + \omega  = \angle DAE \Rightarrow \boxed{ED = EA}

Με \displaystyle \angle ADE = {75^0} και \displaystyle DC \bot BF το \displaystyle \vartriangle DCE είναι ορθογώνιο ισοσκελές ,άρα

\displaystyle DC = CE = \frac{{a + d}}{2} + a \Rightarrow \frac{{\left( {a + d} \right)\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a + d}}{2} \Rightarrow \boxed{d = a\sqrt 3 }
γωνία ισοσκελούς.png
γωνία ισοσκελούς.png (31.01 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8931
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία ισοσκελούς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 31, 2018 4:26 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 11:42 am
Γωνία ισοσκελούς.pngΠροεκτείνω την πλευρά BA=a , του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα AD=d

και την BC κατά τμήμα CE=a+d . Δείξτε ότι : ED=EA και υπολογίστε το d ,

( συναρτήσει του a ) , ώστε να είναι : \widehat{ADE}=75^0 .
Γωνία ισοσκελούς.png
Γωνία ισοσκελούς.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές
α) Με νόμο συνημιτόνων στα BDE, BAE βρίσκω: \displaystyle E{D^2} = 3{a^2} + {d^2} + 3ad = E{A^2} \Leftrightarrow \boxed{ED=EA}

Β) Με νόμο ημιτόνων στο ACE: \displaystyle \frac{{a + d}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{a}{{\sin 15^\circ }} \Leftrightarrow (a + d)\sqrt 2  = a(\sqrt 6  + \sqrt 2 ) = \boxed{d=a\sqrt 3}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1867
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Γωνία ισοσκελούς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Οκτ 31, 2018 9:06 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 11:42 am
Γωνία ισοσκελούς.pngΠροεκτείνω την πλευρά BA=a , του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα AD=d

και την BC κατά τμήμα CE=a+d . Δείξτε ότι : ED=EA και υπολογίστε το d ,

( συναρτήσει του a ) , ώστε να είναι : \widehat{ADE}=75^0 .
1) Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο DBCI


Τότε είναι BD=CI=CE=d+a,\hat{ICE}=60^{0}

Αρα το τρίγωνο CEI

είναι ισόπλευρο και τα τρίγωνα ACE,DIE είναι ίσα γιατί \hat{DIE}=\hat{ACE}=120^{0},DI=BC=a,IE=CE=d+a

Οπότε DE=AE

2) Από το νόνμο των ημιτόνων στο τρίγωνο AEB,AE=a\sqrt{6+3\sqrt{3}}

Απο το νόμο των συνημιτονων στο τρίγωνο ABE,d^{2}+3ad-3(1+\sqrt{3})a^{2}=0\Rightarrow d=a\sqrt{3}



Γιάννης
Συνημμένα
Γωνία   ισοσκελούς.png
Γωνία ισοσκελούς.png (122.36 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης