Ομοκυκλικά και λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1442
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ομοκυκλικά και λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Οκτ 28, 2018 1:47 pm

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους !
28-10-18 Ομοκυκλικά και λόγος.PNG
28-10-18 Ομοκυκλικά και λόγος.PNG (8.03 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές
Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο και M το μέσον της AD. Θεωρούμε H \in AB..I \in CD ώστε BH=DI.

Οι BM,DH τέμνονται στο E. Αν είναι BM=AB+BH τότε να εξεταστεί αν τα M,E,C,I είναι ομοκυκλικά.

Αν επιπλέον δοθεί ότι AB=3BH τότε να ελεγχθεί η ακεραιότητα του λόγου \dfrac{\left ( MECI \right )}{\left ( MID \right )}
Ευχαριστώ , Γιώργος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομοκυκλικά και λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 28, 2018 7:49 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 28, 2018 1:47 pm
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους !
28-10-18 Ομοκυκλικά και λόγος.PNG
Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο και M το μέσον της AD. Θεωρούμε H \in AB..I \in CD ώστε BH=DI.

Οι BM,DH τέμνονται στο E. Αν είναι BM=AB+BH τότε να εξεταστεί αν τα M,E,C,I είναι ομοκυκλικά.

Αν επιπλέον δοθεί ότι AB=3BH τότε να ελεγχθεί η ακεραιότητα του λόγου \dfrac{\left ( MECI \right )}{\left ( MID \right )}
Ευχαριστώ , Γιώργος .
Καλησπέρα!

Η CE τέμνει την AB στο F.
Ομοκυκλικά και λόγος.png
Ομοκυκλικά και λόγος.png (23.62 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές
α) Μενέλαος στο ADH με διατέμνουσα \displaystyle \overline {BEM}: \displaystyle \frac{{AM}}{{MD}} \cdot \frac{{ED}}{{EH}} \cdot \frac{{BH}}{{BA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ED}}{{EH}} = \frac{{BA}}{{BH}} = \frac{{DC}}{{BH}}

Αλλά, \displaystyle \frac{{ED}}{{EH}} = \frac{{DC}}{{FH}}, άρα \boxed{FH=HB} και \displaystyle \frac{{FB}}{{BC}} = \frac{{2BH}}{{2MD}} = \frac{{DI}}{{MD}} \Rightarrow \boxed{FC||MI}

Μενέλαος στο ABM με διατέμνουσα \displaystyle \overline {HED}: \displaystyle \frac{{AH}}{{HB}} \cdot \frac{{EB}}{{EM}} \cdot \frac{{MD}}{{AD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{HB}} \cdot \frac{{EB}}{{EM}} \cdot \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{EB}}{{EM}} = \frac{{2HB}}{{AH}} \Leftrightarrow

\displaystyle \frac{{EB + EM}}{{EM}} = \frac{{2HB + AB}}{{AH}} \Leftrightarrow \frac{{BM}}{{EM}} = \frac{{BM}}{{AH}} \Leftrightarrow \boxed{EM=AH=CI}

Επομένως το EMIC είναι ισοσκελές τραπέζιο και κατά συνέπεια τα σημεία M,E,C,I είναι ομοκυκλικά!

β) Φέρνω \displaystyle DK \bot EC που τέμνει την MI στο Z. Είναι, \displaystyle \frac{{ED}}{{EH}} = \frac{{AB}}{{BH}} = 3 = \frac{{EC}}{{EF}} \Leftrightarrow EC = 3EF

Αλλά, από τα όμοια τρίγωνα MDI, BCF είναι \displaystyle CF = 2MI \Leftrightarrow \boxed{EC=\frac{3MI}{2}} Επίσης, \boxed{KZ=2DZ}

\displaystyle \frac{{(MECI)}}{{(MID)}} = \frac{{(MI + EC)KZ}}{{MI \cdot DZ}} = \frac{{\frac{{5MI}}{2}}}{{MI}} \cdot 2 \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{\left ( MECI \right )}{\left ( MID \right )}=5} που είναι ακέραιος!


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1442
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ομοκυκλικά και λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Νοέμ 01, 2018 11:38 pm

Καλό βράδυ. Ένα μεγάλο ευχαριστώ , Γιώργο για την άμεση τακτοποίηση του παρόντος!
Η δική μου προσέγγιση :
1-11 Ομοκυκλικά...PNG
1-11 Ομοκυκλικά...PNG (8.36 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές
Όπως και στο θέμα Νέα παραλληλία (5η ανάρτηση) προκύπτει MI \parallel CE . Η συνέχεια για το α΄ όπως ο Γιώργος.

Για το β' ο Μενέλαος πριν μας δίνει ME=EB οπότε \left ( MEC \right )=\left ( BMC \right )/2=\left ( ABCD \right )/4

και \left ( MIC \right )=2\left ( MCD \right )/3=\left ( ABCD \right )/6 άρα \left ( MECI \right )=5\left ( ABCD \right )/12

ενώ \left ( MID \right )=\left ( MDC \right )/3=\left ( ABCD \right )/12 και το ζητούμενο άμεσο.

Να τονίσω ότι ο ακέραιος 5 που βρήκαμε , σήμερα σημαίνει κάτι ... για τον άφθαστο ΓΙΩΡΓΟ ΒΙΣΒΙΚΗ !!

Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης