Ίσες γωνίες σε ισοσκελές

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7318
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσες γωνίες σε ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 11, 2018 6:31 pm

Ίσες γωνίες σε ισοσκελές.png
Ίσες γωνίες σε ισοσκελές.png (9.56 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
Έστω D σημείο της πλευράς AC ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC), ώστε CD=2AD

και E σημείο της BD ώστε A\widehat EC=90^\circ. Να δείξετε ότι E\widehat CB=E\widehat BA.



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ίσες γωνίες σε ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Οκτ 11, 2018 9:18 pm

Γιώργο καλησπέρα,

Φέρνω την AF κάθετη στην BC\Rightarrow BF=FC. Εστω AD=DS=SC και O μέσο του AC. Το AEFC είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου AC. Η προέκταση του FO τέμνει τον κύκλο στο Q. Το AFCQ είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγνώνιές του FQ, AC διχοτομούνται) και μάλιστα ορθογώνιο.
Η προέκταση της FS τέμνει τον κύκλο στο P. Επειδή F,S μέσα των BC, DC αντίστοιχα \Rightarrow FP\left | \right |BQ \Rightarrow EF=QP\Rightarrow \widehat{QFP}=\widehat{BCE}.
Επίσης FQ\left | \right |BA\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{QFP} (γωνίες με πλευρές παράλληλες).
Επομένως \widehat{ABE}=\widehat{BCE}

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
ises gonies.png
ises gonies.png (45.44 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1497
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίσες γωνίες σε ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Οκτ 11, 2018 9:49 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Οκτ 11, 2018 6:31 pm
Ίσες γωνίες σε ισοσκελές.png
Έστω D σημείο της πλευράς AC ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC), ώστε CD=2AD

και E σημείο της BD ώστε A\widehat EC=90^\circ. Να δείξετε ότι E\widehat CB=E\widehat BA.

Έστω \displaystyle AM το ύψος του τριγώνου \displaystyle ABC

Με \displaystyle Z συμμετρικό του \displaystyle B ως προς \displaystyle A είναι \displaystyle ZC \bot BCκι επειδή \displaystyle CD = 2DA,το \displaystyle D είναι κ.βάρους του \displaystyle \vartriangle ZBC

Άρα, \displaystyle P μέσον της \displaystyle ZCκαι \displaystyle AP \bot CZ επομένως ο περίκυκλος του \displaystyle AEMC περνά από το \displaystyle P και \displaystyle ME \bot EP

Συνεπώς \displaystyle \angle {B_1} = \angle {M_1} = \angle {C_1} άρα και \displaystyle x = y (αφού \displaystyle \angle B = \angle C)
ίσες γωνίες.png
ίσες γωνίες.png (17.37 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1713
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ίσες γωνίες σε ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Οκτ 15, 2018 2:25 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Οκτ 11, 2018 6:31 pm
Ίσες γωνίες σε ισοσκελές.png
Έστω D σημείο της πλευράς AC ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC), ώστε CD=2AD

και E σημείο της BD ώστε A\widehat EC=90^\circ. Να δείξετε ότι E\widehat CB=E\widehat BA.
Εστω ότι DC=x,AD=\dfrac{x}{2},\hat{ABC}=\nu ,\hat{ICB}=\sigma

Τότε στο τρίγωνο AKC με τέμνουσα BID Απο το θεώρημα του Μενελάου
\dfrac{AI}{IK}.\dfrac{BK}{BC}.\dfrac{CD}{DA}=1\Rightarrow IA=IK Προεκτείνω την IC
κατά ίσο τμήμα IT Οπότε το ATKC είναι παραλληλόγραμμο και το ATBK
ορθογώνιο .Η TA τέμνει τον κύκλο στο σημείο L
Συνεπώς το ALCK είναι ορθογώνιο
Απο τα ίσα τρίγωνα AIB=AIC\Rightarrow \hat{GCA}=\omega
Εφόσον είναι \hat{BDA }=\nu +\sigma για να είναι συνευθειακά τα σημεία I,D,L
θα αποδειχθεί οτι η γωνία \hat{ADL}=180^{0}-(\nu +\sigma )
Στο τρίγωνο ADL,DL^{2}=\dfrac{a^{2}+\upsilon ^{2}}{9} θεώρημα Stweart
Θα αποδειχθεί ότι AG=EK
Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ADL,cos(ADL)=\dfrac{2\upsilon ^{2}-a^{2}}{\sqrt{a^{2}+\upsilon ^{2}}\sqrt{a^{2}+4\upsilon ^{2}}},(1)
Ακόμη -cos(\nu +\sigma )=cos(180-\nu -\sigma )=\dfrac{2\upsilon ^{2}-a^{2}}{\sqrt{(a^{2}+\upsilon ^{2})(4\upsilon ^{2}+a^{2}))}},(*), (1),(*)\Rightarrow \hat{ADL}=180-\nu -\sigma

\hat{ALE}=\hat{GLK}\Leftrightarrow AG=EK\Leftrightarrow \omega =\varphi


Γιάννης
Συνημμένα
Ισες γωνίες σε ισοσκελές.png
Ισες γωνίες σε ισοσκελές.png (78 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10101
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ίσες γωνίες σε ισοσκελές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Οκτ 15, 2018 7:27 pm

Ψάχνοντας  τη   χορδή.png
Ψάχνοντας τη χορδή.png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές
Η άσκηση είναι ασφαλώς εμπνευσμένη από αυτήν και έχουμε : Αφ'ενός :

\eta=\phi ,αφ'ετέρου : \theta+\phi=\omega=\zeta+\theta άρα : \zeta=\phi (=\eta)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7318
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσες γωνίες σε ισοσκελές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 15, 2018 7:51 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 15, 2018 7:27 pm
...Η άσκηση είναι ασφαλώς εμπνευσμένη από αυτήν
Κι όμως είναι από εδώ όπου βρίσκεται και η προσέγγισή μου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες