Ψάχνοντας τη χορδή

KARKAR · #1

: Ψάχνοντας τη χορδή.png (17.06 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

Το ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει βάση BC=40

και ύψος

. Ευθεία διερχόμενη από το

και το μέσο

του

, τέμνει τον περίκυκλο του ADC

στα σημεία S,T

. Υπολογίστε το (ST)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 09, 2018 12:02 pm
Ψάχνοντας τη χορδή.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει βάση και ύψος . Ευθεία διερχόμενη από το

και το μέσο του , τέμνει τον περίκυκλο του στα σημεία . Υπολογίστε το .

Με Π. Θ βρίσκω ότι BM=25.

Είναι ακόμα $\displaystyle MS \cdot MT = MA \cdot MD \Leftrightarrow$ $\boxed{MS\cdot MT=225}$ (1)

: Ψάχνοντας τη χορδή.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές

$\displaystyle BS \cdot BT = BD \cdot BC = 800 \Leftrightarrow (BM - MS)(BM + MT) = 800 \Leftrightarrow$

$\displaystyle B{M^2} + BM(MT - MS) - MS \cdot MT = 800\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 625 + 25(MT - MS) - 225 = 800 \Leftrightarrow$

$\boxed{MT-MS=16}$ (2)

Λύνοντας το σύστημα των (1), (2)

βρίσκω $\displaystyle MT = 25,MS = 9 \Rightarrow$ $\boxed{ST=34}$

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης και λύση ώρα 4:00 pm

#3

Θέτω: $BS = w\,\,,\,\,SM = x\,\,,\,\,MY = y$ ισχύουν ταυτόχρονα :

: Ψάχνοντας τη χορδή.png (26.08 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

$\left\{ \begin{gathered} xy = {15^2} \hfill \\ x + w = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25 \hfill \\ w(w + x + y) = 20 \cdot 40 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} xy = {15^2} \hfill \\ w = 25 - x \hfill \\ (25 - x)(25 + y) = 800 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 9 \hfill \\ y = 25 \hfill \\ w = 16 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ άρα $\boxed{ST = 34}$

Αλλά και με ένα Π.Θ. στο τρίγωνο έχω κ.λ.π.

nickchalkida · #4

Επειδή

ορθογώνιο οι κάθετες από

,

στις

,

αντίστοιχα θα τέμνονται επί του κύκλου στο T_1

. Με κάποια προσοχή στη διατύπωση, θεώρημα Θαλή στο BCT

ειναι $CT \parallel MD$ άρα

,

ταυτίζονται. Απο εκει τα άλλα προκύπτουν εύκολα με ένα πυθαγόρειο και μια δύναμη σημείου.

#5

: Ψάχνοντας τη χορδή_new.png (17.28 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

Δε γράφω, αρχικά, τον κύκλο . Κατασκευάζω το ορθογώνιο ACDT

και έστω

η προβολή του

στην

. το σημείο τομής

των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST$ είναι το μέσο του

Τα ορθογώνια τρίγωνα $CBT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBM$ είναι της μορφής $(4k,3k,5k)\,\,\,,k > 0$ και έχουν υποτείνουσες : $ST = 50\,\,,\,\,BM = 25 \Rightarrow MT = 25$ .

Από το Θ Ευκλείδη στο ορθογώνιο τρίγωνο DBM

έχω : $B{D^2} = BS \cdot BM \Rightarrow 400 = 25BS \Rightarrow \boxed{BS = 16}$ και άρα $\boxed{ST = 9 + 25 = 34}$ .

Είναι δε προφανές ότι τα σημεία A,S,D,C,T

είναι ομοκτκλικά.

Η διευκρίνηση της παρατήρησης στην προηγούμενη ανάρτησή μου

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 09, 2018 12:02 pm
Ψάχνοντας τη χορδή.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει βάση και ύψος . Ευθεία διερχόμενη από το

και το μέσο του , τέμνει τον περίκυκλο του στα σημεία . Υπολογίστε το .

Με $\displaystyle Z$ συμμετρικό του $\displaystyle D$ ως προς $\displaystyle C$ και $\displaystyle DO//BT \Rightarrow AN = NO$ και $\displaystyle \frac{{ZO}}{{ON}} = \frac{{ZD}}{{DB}} = 2 \Rightarrow ZO = 2ON = OA$

Έτσι $\displaystyle DO = 25$ και $\displaystyle MN = \frac{{25}}{2}$

Ισχύει, $\displaystyle SM \cdot MT = 225$ και $\displaystyle NT \cdot NS = AN \cdot NK = \frac{{43}}{4}$ και με $\displaystyle MN = \frac{{25}}{2}$ παίρνουμε το σύστημα

$\displaystyle y\left( {2x + 25} \right) = 450$ και $\displaystyle x\left( {4y + 50} \right) = 1075$ με λύση $\displaystyle \boxed{y = 9},\boxed{x = \frac{{25}}{2}}$ ,άρα $\displaystyle \boxed{ST = 34}$

: χορδή.png (755.4 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές

KARKAR · #7

: Ψάχνοντας τη χορδή.png (17.06 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

Μια σύντομη λύση προκύπτει από το γεγονός ότι για οποιοδήποτε ισοσκελές ,

η

είναι κάθετη της

( δείξτε το ! ) , οπότε : $BS\cdot BM=BD^2$

και γνωρίζοντας το

, ο υπολογισμός του

είναι πλέον απλός ...

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 11, 2018 7:37 am
Ψάχνοντας τη χορδή.png Μια σύντομη λύση προκύπτει από το γεγονός ότι για οποιοδήποτε ισοσκελές ,

η είναι κάθετη της ( δείξτε το ! ) , οπότε : $BS\cdot BM=BD^2$

και γνωρίζοντας το , ο υπολογισμός του είναι πλέον απλός ...

Μα νομίζω στη δεύτερη μου ανάρτηση αυτό έχω δείξει ( με ανάδρομη έστω) διαδικασία .

Ψάχνοντας τη χορδή

Ψάχνοντας τη χορδή

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

Re: Ψάχνοντας τη χορδή

Μέλη σε σύνδεση