Παράξενο μέγιστο 15

KARKAR · #1

: Παράξενο μέγιστο 15.png (6.78 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Σημείο

κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας

. Με διάμετρο την

γράφουμε ημικύκλιο , το οποίο τέμνει την

στο

και έχει μέσο το

.

Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 03, 2018 1:06 pm
Παράξενο μέγιστο 15.pngΣημείο κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας . Με διάμετρο την

γράφουμε ημικύκλιο , το οποίο τέμνει την στο και έχει μέσο το .

Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Στάθης

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 03, 2018 1:06 pm
Παράξενο μέγιστο 15.pngΣημείο κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας . Με διάμετρο την

γράφουμε ημικύκλιο , το οποίο τέμνει την στο και έχει μέσο το .

Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος .

Αν $\angle PAM= \theta$ τότε $\angle PAS = 45+\theta$ και άρα η χορδή

είναι $2r\cos (45+\theta)$ . Tώρα, στον μικρό κύκλο η

είναι διάμετρος άρα η χορδή του

, την οποία βλέπει εγγεγραμμένη $\theta$ , είναι $MP=SA\sin \theta = 2r\cos (45+\theta)\sin \theta = r(\sin (2\theta + 45) - \sin 45)$ .

Από αυτό διαβάζουμε το μέγιστο, $\max MP= r(1 - \sin 45) = r(1-\sqrt 2 /2)$ , το οποίο λαμβάνεται για $\theta = 45/2$ (δεκτό).

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 03, 2018 1:06 pm
Παράξενο μέγιστο 15.pngΣημείο κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας . Με διάμετρο την

γράφουμε ημικύκλιο , το οποίο τέμνει την στο και έχει μέσο το .

Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος .

Ας δούμε και μια αμιγώς γεωμετρική λύση

: Παράξενο μέγιστο 15.png (21.92 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

Έστω το σημείο τομής του ημικυκλίου με την . Τότε είναι $\angle MNA\mathop = \limits^{N,M,A,S\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle MSA\mathop = \limits^{\vartriangle SMA\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o\,\,\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varepsilon \varsigma } {45^0} = \angle OBA$

$\Rightarrow NM\parallel OB\mathop \Rightarrow \limits^{OB\parallel SP\,\,(\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\sigma \tau \eta \nu \,\,OA)}$ $NM\parallel SP\mathop \Rightarrow \limits^{N,M,P,S\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } MPSN$ ισοσκελές τραπέζιο , άρα με μέγιστη τιμή (αφού $SN\bot AB$ (λόγω του ημικυκλίου)) όταν το πάρει τη θέση του μέσου του τεταρτοκυκλίου , οπότε συνευθειακά.

Έτσι $\max \left( {MP} \right) = \max \left( {NS} \right) = OS - ON$ $= r - \dfrac{{r\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{r\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{2}$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

Στάθης

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 03, 2018 1:06 pm
Παράξενο μέγιστο 15.pngΣημείο κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας . Με διάμετρο την

γράφουμε ημικύκλιο , το οποίο τέμνει την στο και έχει μέσο το .

Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος .

Θα χρησιμοποιήσω το παρακάτω λήμμα:

Έστω σημείο ημικυκλίου διαμέτρου και το έγκεντρο του τριγώνου Τότε το μεγιστοποιείται

όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές και παίρνει μέγιστη τιμή $\displaystyle {(AI)_{\max }} = R(2 - \sqrt 2 )$

Και τώρα στην άσκησή μας.

: Παράξενο μέγιστο.15.png (12.02 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Έστω

η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου. Προφανώς το

είναι το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου POS

που έχει

υποτείνουσα

και σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα θα είναι $\displaystyle {(PM)_{\max }} = \frac{R}{2}(2 - \sqrt 2 )$ και αυτό συμβαίνει

όταν το POS

είναι ισοσκελές, δηλαδή το

είναι το μέσο του τεταρτοκυκλίου.

Σε επόμενη ανάρτηση θα αποδείξω το λήμμα.

Altrian · #6

Καλημέρα, άλλη μία γεωμετρική λύση
Εστω

το σημείο τομής της

με το ημικύκλιο. $2\widehat{f}+2\widehat{u}=90\Rightarrow \widehat{OMA}=135$ . Επομένως το

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου

και το

στο τόξο

που αντιστοιχεί σε εγγεγραμμένη 180-135=45

δηλ. επίκεντρη

. Αρα η

διέρχεται πάντοτε από το σημείο

που είναι η τομή του κύκλου διαμέτρου

με την μεσοκάθετη του

. Προφανώς όταν NMF

κάθετη στην

έχουμε το $max(MN)=r-\frac{r\sqrt{2}}{2}=max(MP)$ (NM=MP)

(dotted line).

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

#7

Λήμμα: Έστω σημείο ημικυκλίου διαμέτρου και το έγκεντρο του τριγώνου Τότε το μεγιστοποιείται

όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές και παίρνει μέγιστη τιμή $\displaystyle {(AI)_{\max }} = R(2 - \sqrt 2 )$

Απόδειξη: Συμπληρώνω τον κύκλο και έστω

η διάμετρος που είναι κάθετη στη

και

το έγκεντρο του MBC.

: Παράξενο μέγιστο.15.(Λήμμα).png (13.57 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές

Επειδή $\displaystyle B\widehat IC = 135^\circ$ ο γεωμετρικός τόπος του

είναι το κόκκινο τόξο που φαίνεται στο σχήμα. Αυτό όμως το τόξο ανήκει

στον κύκλο (N, NB),

άρα $NI=NJ=R\sqrt 2.$ Αλλά, $\displaystyle NA \le NM\mathop \Leftrightarrow \limits^{NI = NJ} AI \le MJ \Leftrightarrow$ $\boxed{AI \le R(2 - \sqrt 2 )}$

Σημείωση: Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται η γενίκευση. Δηλαδή αν σε τρίγωνο ABC

η πλευρά

και η γωνία $\widehat A$ είναι σταθερές,

τότε το

μεγιστοποιείται στο ισοσκελές τρίγωνο. Για την γενίκευση είναι: $\displaystyle {(AI)_{\max }} = 2R\left( {1 - \sin \frac{A}{2}} \right),$ όπου $\displaystyle R = \frac{{BC}}{{2\sin A}}$

Παράξενο μέγιστο 15

Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Μέλη σε σύνδεση