Παράξενο μέγιστο 15
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Παράξενο μέγιστο 15
γράφουμε ημικύκλιο , το οποίο τέμνει την στο και έχει μέσο το .
Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος .
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παράξενο μέγιστο 15
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παράξενο μέγιστο 15
Αν τότε και άρα η χορδή είναι . Tώρα, στον μικρό κύκλο η είναι διάμετρος άρα η χορδή του , την οποία βλέπει εγγεγραμμένη , είναι .
Από αυτό διαβάζουμε το μέγιστο, , το οποίο λαμβάνεται για (δεκτό).
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παράξενο μέγιστο 15
Ας δούμε και μια αμιγώς γεωμετρική λύση
Έστω το σημείο τομής του ημικυκλίου με την . Τότε είναι
ισοσκελές τραπέζιο , άρα με μέγιστη τιμή (αφού (λόγω του ημικυκλίου)) όταν το πάρει τη θέση του μέσου του τεταρτοκυκλίου , οπότε συνευθειακά.
Έτσι και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παράξενο μέγιστο 15
Θα χρησιμοποιήσω το παρακάτω λήμμα:
Έστω σημείο ημικυκλίου διαμέτρου και το έγκεντρο του τριγώνου Τότε το μεγιστοποιείται
όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές και παίρνει μέγιστη τιμή
Και τώρα στην άσκησή μας. Έστω η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου. Προφανώς το είναι το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου που έχει
υποτείνουσα και σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα θα είναι και αυτό συμβαίνει
όταν το είναι ισοσκελές, δηλαδή το είναι το μέσο του τεταρτοκυκλίου.
Σε επόμενη ανάρτηση θα αποδείξω το λήμμα.
Re: Παράξενο μέγιστο 15
Καλημέρα, άλλη μία γεωμετρική λύση
Εστω το σημείο τομής της με το ημικύκλιο. . Επομένως το κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου και το στο τόξο που αντιστοιχεί σε εγγεγραμμένη δηλ. επίκεντρη . Αρα η διέρχεται πάντοτε από το σημείο που είναι η τομή του κύκλου διαμέτρου με την μεσοκάθετη του . Προφανώς όταν κάθετη στην έχουμε το (dotted line).
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Εστω το σημείο τομής της με το ημικύκλιο. . Επομένως το κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου και το στο τόξο που αντιστοιχεί σε εγγεγραμμένη δηλ. επίκεντρη . Αρα η διέρχεται πάντοτε από το σημείο που είναι η τομή του κύκλου διαμέτρου με την μεσοκάθετη του . Προφανώς όταν κάθετη στην έχουμε το (dotted line).
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- Συνημμένα
-
- max15.png (46.69 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παράξενο μέγιστο 15
Λήμμα: Έστω σημείο ημικυκλίου διαμέτρου και το έγκεντρο του τριγώνου Τότε το μεγιστοποιείται
όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές και παίρνει μέγιστη τιμή
Απόδειξη: Συμπληρώνω τον κύκλο και έστω η διάμετρος που είναι κάθετη στη και το έγκεντρο του Επειδή ο γεωμετρικός τόπος του είναι το κόκκινο τόξο που φαίνεται στο σχήμα. Αυτό όμως το τόξο ανήκει
στον κύκλο άρα Αλλά,
Σημείωση: Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται η γενίκευση. Δηλαδή αν σε τρίγωνο η πλευρά και η γωνία είναι σταθερές,
τότε το μεγιστοποιείται στο ισοσκελές τρίγωνο. Για την γενίκευση είναι: όπου
όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές και παίρνει μέγιστη τιμή
Απόδειξη: Συμπληρώνω τον κύκλο και έστω η διάμετρος που είναι κάθετη στη και το έγκεντρο του Επειδή ο γεωμετρικός τόπος του είναι το κόκκινο τόξο που φαίνεται στο σχήμα. Αυτό όμως το τόξο ανήκει
στον κύκλο άρα Αλλά,
Σημείωση: Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται η γενίκευση. Δηλαδή αν σε τρίγωνο η πλευρά και η γωνία είναι σταθερές,
τότε το μεγιστοποιείται στο ισοσκελές τρίγωνο. Για την γενίκευση είναι: όπου
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες