Κριτήριο ισοσκελούς 3

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κριτήριο ισοσκελούς 3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 02, 2018 5:34 pm

Ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου ABC εφάπτεται των πλευρών AB, AC, BC στα σημεία K, M, N αντίστοιχα.

Αν \displaystyle A\widehat NM = C\widehat KM, να δείξετε ότι το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Κριτήριο ισοσκελούς 3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Οκτ 02, 2018 10:51 pm

Κριτήριο ισοσκελούς 3.png
Κριτήριο ισοσκελούς 3.png (21.96 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές
Στο τρίγωνο KNM οι NA και KC είναι συμμετροδιαμέσοι. Οπότε αν θεωρήσουμε S, T τα μέσα των KM και MN αντίστοιχα έχουμε ότι \widehat{ANM}=\widehat{KNS} και \widehat{CKM}=\widehat{NKT}.

Οπότε προκύπτει ότι \widehat{KNS}=\widehat{NKT}.

Έστω G το βαρύκεντρο του KNM.

Έχουμε καταρχάς πως KG=GN, αφού το τρίγωνο KGN προκύπτει να είναι ισοσκελές. Είναι γνωστό πως 2GT=KG και 2SG=GN, οπότε GT=SG, και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε ότι KG+GT=GN+SG\Leftrightarrow KT=NS.

Τα τρίγωνα λοιπόν NKT και KNS είναι ίσα, αφού KT=NS, KN κοινή και \widehat{NKT}=\widehat{KNS}.

Επομένως \widehat{SKN}=\widehat{TNK} και επομένως το τρίγωνο KMN είναι ισοσκελές.

Αφού AC είναι εφαπτόμενη στο M έχουμε ότι \widehat{KMA}=\widehat{KNM}=\widehat{NKM}=\widehat{NMC}\Leftrightarrow \widehat{KMA}=\widehat{NMC}.

Αφού τώρα KM=NM και τα τρίγωνα KAM και MCN είναι ισοσκελή έχουμε πως είναι ίσα, επομένως \widehat{KAM}=\widehat{NCM}, οπότε το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές με BA=BC.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης