Ένα δίνεται και ένα ζητείται

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ένα δίνεται και ένα ζητείται

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 01, 2018 6:57 pm

Ένα δίνεται και ένα ζητείται.png
Ένα δίνεται και ένα ζητείται.png (8.6 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές
Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB=AC), P ένα σημείο της πλευράς AB και M το μέσο του BC.

Επί του τμήματος CP θεωρώ τα σημεία N, L ώστε AN\bot CP και CL=AN.

α) Να δείξετε ότι και το τρίγωνο MLN είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

β) Αν επιπλέον δίνεται \displaystyle \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2}, να βρείτε το λόγο \dfrac{(MLN)}{(ABC)}. Πόσο είναι το μέτρο της γωνίας A\widehat CP σε αυτή την περίπτωση;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ένα δίνεται και ένα ζητείται

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Οκτ 02, 2018 11:51 am

Για το α):
Το τετράπλευρο PNMB είναι εγγράψιμο αφού

AC^2=(CN)(CP)=(CM)(CB)

Αν LT είναι κάθετη στην CP στο L, με T επί της AC, τότε το πεντάπλευρο ATLMP είναι (απλό και γρήγορο), εγγράψιμο κ.λπ.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1862
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ένα δίνεται και ένα ζητείται

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Οκτ 02, 2018 2:56 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Οκτ 01, 2018 6:57 pm
Ένα δίνεται και ένα ζητείται.png
Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB=AC), P ένα σημείο της πλευράς AB και M το μέσο του BC.

Επί του τμήματος CP θεωρώ τα σημεία N, L ώστε AN\bot CP και CL=AN.

α) Να δείξετε ότι και το τρίγωνο MLN είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

β) Αν επιπλέον δίνεται \displaystyle \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2}, να βρείτε το λόγο \dfrac{(MLN)}{(ABC)}. Πόσο είναι το μέτρο της γωνίας A\widehat CP σε αυτή την περίπτωση;

A)Σχηματίζουμε το παραλ/μμο \displaystyle NALE οπότε \displaystyle K μέσον του \displaystyle LN

Ακόμη, \displaystyle \theta  + \phi  = \theta  + \omega  = {45^0} \Rightarrow \phi  = \omega και \displaystyle CMNA εγγράψιμο άρα\displaystyle \angle AMN = \theta

Είναι, \displaystyle \vartriangle LCM = \vartriangle MAN(\Pi  - \Gamma  - \Pi ) άρα \displaystyle LM = MN και \displaystyle \angle KLM = \theta  + \omega  = {45^0} .

Άρα \displaystyle \vartriangle LMN ορθογώνιο-ισοσκελές με \displaystyle LN = 2MK

B)Με \displaystyle BZ \bot CP \Rightarrow y//MK \Rightarrow y = 2MK = LN

\displaystyle \frac{{\left( {ACN} \right)}}{{\left( {CNB} \right)}} = \frac{{AP}}{{PB}} = \frac{x}{y} = m όπου \displaystyle m = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2} άρα \displaystyle x = my

Τώρα, στο \displaystyle \vartriangle CAN με Π.Θ έχουμε

\displaystyle A{C^2} = {x^2} + {\left( {y + x} \right)^2} \Rightarrow {b^2} = {\left( {my} \right)^2} + {\left[ {\left( {m + 1} \right)y} \right]^2} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{2} = \left( {2{m^2} + 2m + 1} \right){y^2} \Rightarrow {\left( {\frac{y}{a}} \right)^2} = \frac{1}{4}

Αλλά \displaystyle \vartriangle LMN \simeq \vartriangle ABC \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {LMN} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = {{\left( {\frac{y}{a}} \right)}^2} = \frac{1}{4}}

C)\displaystyle \tan \theta  = \frac{x}{{x + y}} = \frac{{my}}{{my + y}} = \frac{m}{{m + 1}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{\tan {{45}^0} - \tan {{30}^0}}}{{1 + \tan {{45}^0}\tan {{30}^0}}} = \tan ({45^0} - {30^0}) = \tan {15^0}

Άρα \displaystyle \boxed{\theta  = {{15}^0}}
ένα δίνεται κι ένα ζητείται.png
ένα δίνεται κι ένα ζητείται.png (22.35 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ένα δίνεται και ένα ζητείται

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Οκτ 02, 2018 6:40 pm

Αφού δόθηκαν εντός φακέλου λύσεις, για το α), να μία εκτός φακέλου:


Αν LT είναι κάθετη στην CP στο L, με T επί της AC, τότε η στροφή περί το Μ κατά ενενήντα μοίρες, στέλνει το τρίγωνο CLT στο τρίγωνο ANP και δίνει την λύση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης