Ορθόκεντρο και ομοκυκλικά!

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1472
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Ορθόκεντρο και ομοκυκλικά!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Σεπ 28, 2018 12:04 am

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC (AB<AC). Φέρνουμε AD \perp BC, και έστω σημείο P πάνω στην AD. Φέρνουμε PE \perp AC, PF \perp AB.

Έστω O_1,O_2 τα περίκεντρα των τριγώνων \vartriangle BDF, \vartriangle CDE. Να αποδείξετε, ότι τα O_1,O_2,E,F
είναι ομοκυκλικά, αν και μόνο αν το P είναι το ορθόκεντρο του \vartriangle ABC.
ORESTHS.png
ORESTHS.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ορθόκεντρο και ομοκυκλικά!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Σεπ 28, 2018 2:17 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Παρ Σεπ 28, 2018 12:04 am
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC (AB<AC). Φέρνουμε AD \perp BC, και έστω σημείο P πάνω στην AD. Φέρνουμε PE \perp AC, PF \perp AB.

Έστω O_1,O_2 τα περίκεντρα των τριγώνων \vartriangle BDF, \vartriangle CDE. Να αποδείξετε, ότι τα O_1,O_2,E,F
είναι ομοκυκλικά, αν και μόνο αν το P είναι το ορθόκεντρο του \vartriangle ABC.

ORESTHS.png
Η κατεύθυνση \Leftarrow είναι άμεση γιατί ανήκουν στον κύκλο του Euler.

Για την \Rightarrow

Στο σχήμα του Ορέστη.

Είναι προφανές ότι τα O_{1},O_{2} είναι τα μέσα των BP,PC

Θέτουμε \angle FBP=\omega ,\angle PCB=\varphi ,\angle PCE=\theta

Από την σχέση \angle O_{1}FE+\angle O_{1}O_{2}E=\pi

υπολογίζοντας τις γωνίες παίρνουμε ότι

\varphi +2\theta +\frac{\pi }{2}-(\varphi +\theta )+\frac{\pi }{2}-\omega =\pi

Δηλαδή \theta =\omega

Αρα \angle FBP=\angle PCE

Είναι γνωστό λόγω της προηγούμενης σχέσης και το ότι βρίσκεται πάνω στο ύψος το P είναι το ορθόκεντρο.
Συμπλήρωμα.(Για το παραπάνω χρησιμοποιήθηκε ότι AB<AC)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης