Διχοτόμος και τμήμα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9809
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διχοτόμος και τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Σεπ 14, 2018 7:16 pm

Διχοτόμος και τμήμα.png
Διχοτόμος και τμήμα.png (13.18 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές
Πάνω στην ακτίνα AE=3 ενός κύκλου (A) παίρνουμε σημείο S , έτσι ώστε AS=2 .

Η κάθετη της ακτίνας στο S τέμνει τον κύκλο στο T . Προεκτείνω το AT κατά TD=2 .

Η κάθετη της AD στο D τέμνει την AE στο B και την ET στο C .

α) Δείξτε ότι : CA \perp AB ... β) Δείξτε ότι : \widehat{ACE}=\widehat{BCE} ... γ) Υπολογίστε το (EB)



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1414
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διχοτόμος και τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Σεπ 15, 2018 1:00 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 14, 2018 7:16 pm
Διχοτόμος και τμήμα.pngΠάνω στην ακτίνα AE=3 ενός κύκλου (A) παίρνουμε σημείο S , έτσι ώστε AS=2 .

Η κάθετη της ακτίνας στο S τέμνει τον κύκλο στο T . Προεκτείνω το AT κατά TD=2 .

Η κάθετη της AD στο D τέμνει την AE στο B και την ET στο C .

α) Δείξτε ότι : CA \perp AB ... β) Δείξτε ότι : \widehat{ACE}=\widehat{BCE} ... γ) Υπολογίστε το (EB)


Α) Με Π.Θ στο \displaystyle \vartriangle ATS \Rightarrow TS = \sqrt 5 .Ακόμη, \displaystyle Q{T^2} = QS \cdot QE = 30 \Rightarrow QT = \sqrt 5  \cdot \sqrt 6

Από το εγγράψιμο \displaystyle PDSA \Rightarrow TS \cdot TP = TA \cdot TD \Rightarrow \sqrt 5  \cdot TP = 6 \Rightarrow TP = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}

\displaystyle \angle QTA = \angle TCD(οξείες με κάθετες πλευρές),άρα ολες οι κόκκινες γωνίες του σχήματος

είναι ίσες και \displaystyle \vartriangle QAT \simeq \vartriangle PCT \Rightarrow \frac{{QT}}{{CT}} = \frac{{PT}}{{TA}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} = \tan \angle QCT

Επίσης \displaystyle \tan \angle TAS = \frac{{TS}}{{AS}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} ,άρα \displaystyle \angle QCT = \angle TAS \Rightarrow CTAQ εγγράψιμο\displaystyle  \Rightarrow AC \bot AB

Β) Με \displaystyle TZ \bot AC \Rightarrow TZ = TD = 2 \Rightarrow CT διχοτόμος της\displaystyle \angle ACB

Γ) Από το εγγράψιμο \displaystyle BDTS έχουμε

\displaystyle AS \cdot AB = AT \cdot AD \Rightarrow 2.AB = 15 \Rightarrow AB = 7.5 \Rightarrow \boxed{EB = 4.5}
διχοτόμος και τμήμα.png
διχοτόμος και τμήμα.png (18.71 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3793
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διχοτόμος και τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Σεπ 15, 2018 7:41 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 14, 2018 7:16 pm
Διχοτόμος και τμήμα.pngΠάνω στην ακτίνα AE=3 ενός κύκλου (A) παίρνουμε σημείο S , έτσι ώστε AS=2 .Η κάθετη της ακτίνας στο S τέμνει τον κύκλο στο T . Προεκτείνω το AT κατά TD=2 .Η κάθετη της AD στο D τέμνει την AE στο B και την ET στο C .
α) Δείξτε ότι : CA \perp AB ... β) Δείξτε ότι : \widehat{ACE}=\widehat{BCE} ... γ) Υπολογίστε το (EB)
Στο σχήμα του Θανάση

α) \angle TEA\mathop  = \limits^{AT = AE = 3} \angle ATE\mathop  = \limits^{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu } \angle CTD\mathop  \Rightarrow \limits^{\angle TSE = \angle CDT = {{90}^0}} \vartriangle TSE \sim \vartriangle CDT \Rightarrow

\dfrac{{TE}}{{TC}} = \dfrac{{SE}}{{TD}}\mathop  = \limits^{TD = AS = 2} \dfrac{{AS}}{{TD}} = 2 \mathop  \Rightarrow \limits^{\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau \rho o\varphi o\,\Theta .\Theta \alpha \lambda \eta } TS\parallel CA\mathop  \Rightarrow \limits^{TS \bot AB} CA \bot AB

β) \vartriangle CDT \sim \vartriangle TSE \Rightarrow \angle TCD = \angle STE\mathop  = \limits^{TS\parallel CA} \angle ACE

γ) \left\{ \begin{gathered} 
  \angle ECB = \angle TCA \\  
  \angle CBE\mathop  = \limits^{\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma } \angle TAC \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \vartriangle CBE \sim \vartriangle CTA \Rightarrow \dfrac{{EB}}{{AT}} = \dfrac{{CE}}{{CT}} = \dfrac{3}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{AT = 3} EB = \dfrac{9}{2}

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6958
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διχοτόμος και τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 15, 2018 6:06 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 14, 2018 7:16 pm
Διχοτόμος και τμήμα.pngΠάνω στην ακτίνα AE=3 ενός κύκλου (A) παίρνουμε σημείο S , έτσι ώστε AS=2 .

Η κάθετη της ακτίνας στο S τέμνει τον κύκλο στο T . Προεκτείνω το AT κατά TD=2 .

Η κάθετη της AD στο D τέμνει την AE στο B και την ET στο C .

α) Δείξτε ότι : CA \perp AB ... β) Δείξτε ότι : \widehat{ACE}=\widehat{BCE} ... γ) Υπολογίστε το (EB)
Διχοτόμος και τμήμα.png
Διχοτόμος και τμήμα.png (13.4 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές
α) Με Π. Θ βρίσκω TS=\sqrt 5, TE=\sqrt 6. Αλλά, \displaystyle AT = AE \Leftrightarrow A\widehat ET = A\widehat TE = C\widehat TD

που σημαίνει ότι τα τρίγωνα CDT, TSE είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 2:1, άρα \displaystyle CT = 2\sqrt 6  \Leftrightarrow CE = 3\sqrt 6

Δύναμη σημείου: \displaystyle CT \cdot CE = C{A^2} - 9 \Leftrightarrow C{A^2} = 45 = 54 - 9 = C{E^2} - A{E^2} \Leftrightarrow \boxed{CA\bot AB}

β) Φέρνω EH\bot BC. Είναι, \displaystyle \frac{{CT}}{{CE}} = \frac{2}{{EH}} \Leftrightarrow EH = 3 = EA \Leftrightarrow \boxed{\widehat{ACE}=\widehat{BCE}}

γ) \displaystyle EH||AD \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 3}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{9}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης