Σελίδα 1 από 1

Ένας γεωμετρικός τόπος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 10, 2018 7:01 pm
από george visvikis
Δίνεται μία σταθερή ευθεία \displaystyle (\varepsilon ) και ένα σταθερό σημείο A εκτός αυτής. Μεταβλητό σημείο P κινείται πάνω στην \displaystyle (\varepsilon ).

Θεωρούμε σημείο Q του επιπέδου, ώστε AP=AQ. Αν οι AP, AQ σχηματίζουν σταθερή γωνία \displaystyle \theta , να βρείτε τον

γεωμετρικό τόπο του Q. (Το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης).

Re: Ένας γεωμετρικός τόπος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 12, 2018 8:32 am
από KDORTSI
george visvikis έγραψε:
Δευ Σεπ 10, 2018 7:01 pm
Δίνεται μία σταθερή ευθεία \displaystyle (\varepsilon ) και ένα σταθερό σημείο A εκτός αυτής. Μεταβλητό σημείο P κινείται πάνω στην \displaystyle (\varepsilon ).

Θεωρούμε σημείο Q του επιπέδου, ώστε AP=AQ. Αν οι AP, AQ σχηματίζουν σταθερή γωνία \displaystyle \theta , να βρείτε τον

γεωμετρικό τόπο του Q. (Το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης).
Γιώργο καλημέρα και Καλή Σχολική Χρονιά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Γεωμετρικός τόπος 1.png
Γεωμετρικός τόπος 1.png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές
Θεωρούμε δύο θέσεις του μεταβλητού σημείου \displaystyle{P} επί της δοθείσης ευθείας \displaystyle{(e)}, τις \displaystyle{P_o} και \displaystyle{P}, έτσι ώστε
η αρχική θέση \displaystyle{P_o} να είναι τέτοια ώστε το αντίστοιχο τρίγωνο \displaystyle{AP_oQ_o} να εδράζεται επί της \displaystyle{(e)}.

Τότε είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι από την ομοιότητα των τριγώνων \displaystyle{AP_oQ_o} και \displaystyle{APQ} προκύπτει
η ισότητα των τριγώνων \displaystyle{AP_oP} και \displaystyle{AQ_oQ} καθόσον αυτά έχουν:
\displaystyle{AP_o=AQ_o, \  \ AP=AQ}
και
\displaystyle{\hat{P_oAP}=\hat{Q_oAQ}

Από την ανωτέρω ισότητα των τριγώνων αυτών προκύπτει ότι το τετράπλευρο \displaystyle{AQ_oPQ}
είναι εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς:
\displaystyle{\hat{QQ_oP}=\theta=ct \  \ (1) }
Από την (1) και από το γεγονός ότι το σημείο \displaystyle{Q_o} θεωρήθηκε σταθερό διαπιστώνεται ότι
το μεταβλητό σημείο \displaystyle{Q} κινείται επί της ευθείας \displaystyle{(e')} που σχηματίζει σταθερή κλίση
με τη δοθείσα \displaystyle{(e)}.
Έτσι ο ζητούμενος γ. τόπος είναι η ευθεία \displaystyle{(e')}.
Το αντίστροφο είναι εύκολο.

Παρατήρηση:
Θα ήταν αρκετό να πούμε αντί των ανωτέρω, ότι επειδή το σημείο \displaystyle{Q} είναι η στροφή
του σημείου \displaystyle{P} γύρω από το σταθερό σημείο \displaystyle{A} κατά δοθείσα γωνία ίση με \displaystyle{\theta},
άρα το σημείο αυτό, δηλαδή το \displaystyle{Q}, θα κινείται πάνω στη στροφή της ευθείας \displaystyle{(e)}
με τα ίδια στοιχεία, που είναι η \displaystyle{(e')}.


Κώστας Δόρτσιος