Ισόπλευρο και παραλληλία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8405
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ισόπλευρο και παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 29, 2018 10:08 am

Ισόπλευρο και παραλληλία.png
Ισόπλευρο και παραλληλία.png (18.4 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές
Ισόπλευρο τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O. Στον ίδιο κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο DE F

με DE||AB, DF||AC. Αν H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου DE F, να δείξετε ότι HO||BC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6718
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 29, 2018 1:19 pm

ισόπλευρο και παραλληλία.png
ισόπλευρο και παραλληλία.png (46.75 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές

Φέρνω την ευθεία BO που προφανώς είναι μεσοκάθετος στις SF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC και έστω T το σημείο τομής της με την FH.

Επειδή το τρίγωνο TDF \to (120^\circ ,30^\circ ,30^\circ ) θα είναι \boxed{DT \bot BC} και \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {HTP} = 60^\circ  \hfill \\ 
  \widehat {FHZ} = 60^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\displaystyle

Αν τώρα φέρω την CO και κόψει την EZ στο P ομοίως έχω \boxed{DP \bot BC} δηλαδή η διαγώνιος PT του παραλληλογράμμου HTOP είναι κάθετη στην BC.

Προφανώς λοιπόν το \vartriangle HTP είναι ισόπλευρο και αναγκαστικά το παραλληλόγραμμο HTOP είναι ρόμβος άρα HO \bot PT \Rightarrow HO//BC.


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 229
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Ισόπλευρο και παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Αύγ 29, 2018 1:45 pm

("λύση" εκτός φακέλου)Αν οι EH,FH τέμνουν τον κύκλο στα Y,X αντίστοιχα,προκύπτει ότι EX,FY κάθετες στην BC.(απλό κυνήγι γωνιών-φαίνεται και από την παραπάνω λύση).Άρα η πολική του H περνάει από το (σταθερό) σημείο στο άπειρο με προσανατολισμό κάθετο στην BC,και επειδή ισχύει το αντίθετο και επιπλέον οι πολικές των σημείων στο άπειρο περνούν από το O,το H κινείται σε ευθεία.Όμως,αν P το σημείο στο άπειρο,πρέπει PO,OH κάθετες,όμως εξ'ορισμού του P είναι PO,BC κάθετες και το ζητούμενο έπεται...


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 975
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ισόπλευρο και παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Αύγ 29, 2018 1:56 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Αύγ 29, 2018 10:08 am
Ισόπλευρο και παραλληλία.png
Ισόπλευρο τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O. Στον ίδιο κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο DE F

με DE||AB, DF||AC. Αν H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου DE F, να δείξετε ότι HO||BC.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε το δοσμένο κύκλο ως το μοναδιαίο και το σημείο A να συμπίπτει με την φανταστική μονάδα (i).

Θα θεωρήσουμε γνωστό επίσης ότι η εικόνα h του ορθόκεντρου τριγώνου \D\E\F με κορυφές στο μοναδιαίο κύκλο δίνεται από την σχέση h=d+e+f.

Από τις παραλληλίες DE||AB , DF||AC σημείων του μοναδιάιου κύκλου έχουμε de=ib , df=ic. Οπότε για το ορθόκεντρο έχουμε

h=d+e+f= d+\dfrac{ib}{d} +\dfrac{ic}{d} = d+ \dfrac{i(b+c)}{d} = d+\dfrac{-ia}{d} = d+\dfrac{-i^2}{d} = d+\dfrac{1}{d} = d+\bar d=Re

Άρα το σημείο H βρίσκεται στον πραγματικό άξονα και HO || BC.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2030
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ισόπλευρο και παραλληλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τετ Αύγ 29, 2018 10:15 pm

Έστω τα σημεία Y\equiv (O)\cap EH και X\equiv (O)\cap FH.

Από \angle EXF = \angle EDF = 60^{o} = \angle EYF και \angle ABC = 60^{o} = \angle ACB προκύπτει εύκολα ότι XE\perp BC\ \ \ ,(1) και YF\perp BC\ \ \ ,(2)

Από (1),\ (2) έχουμε ότι το ορθόκεντρο H του \vartriangle D EF , ταυτίζεται με το σημείο τομής των διαγωνίων του μεταβλητού τραπεζίου EXYF με EX\parallel YF σταθερής διεύθυνσης.

Η δια του σημείου H κάθετη ευθεία επί των βάσεων του ως άνω μεταβλητού τραπεζίου περνάει από το κέντρο O του κύκλου (O) , είναι παράλληλη προς την BC λόγω των (1),\ (2) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1673
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και παραλληλία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Αύγ 30, 2018 1:35 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Αύγ 29, 2018 10:08 am
Ισόπλευρο και παραλληλία.png
Ισόπλευρο τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O. Στον ίδιο κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο DE F

με DE||AB, DF||AC. Αν H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου DE F, να δείξετε ότι HO||BC.

Επειδή \displaystyle DABE,DACF ισοσκελή τραπέζια, θα είναι \displaystyle DA = EB = CF \Rightarrow EBFC ισοσκελές τραπέζιο,άρα

\displaystyle EF = BC ,επομένως και τα αντίστοιχα αποστήματα αυτών \displaystyle ON,OM θα είναι ίσα.

Έτσι, \displaystyle DH = 2ON = 2OM = OA = R.Ακόμη, \displaystyle DH = DQ = R (το συμμετρικό του \displaystyle H ως προς\displaystyle DF είναι σημείο του κύκλου)

και το τρίγωνο \displaystyle ODQ είναι ισόπλευρο

Θεωρώντας τον κύκλο \displaystyle \left( {D,R} \right) θα είναι \displaystyle \angle QHO = \angle \frac{{QDC}}{2} = {30^0} .Αλλά \displaystyle \angle AHQ = {30^0},οπότε \displaystyle \angle AHO = {60^0} = \angle ABC \Rightarrow \boxed{HO//BC}
Ισόπλευρο και παραλληλία.png
Ισόπλευρο και παραλληλία.png (39.84 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες