Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

#1

: Ίσα τμηματα στις πλευρές παραλληλογράμμου.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές

Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD

και έστω

τυχαίο σημείο της διχοτόμου της γωνίας $A\widehat DC.$ Οι CM, AM

τέμνουν τις BA, BC

ή τις προεκτάσεις τους στα σημεία P, Q

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι AP=CQ.

min## · #2

''Λύση'' εκτός φακέλου:Έστω ότι ορίζουμε την ακολουθία σημείων $Q_{i}$ ώστε $Q_{i}C=P_{i}A$ .Αρκεί να αποδειχτεί ότι η τομή των $AQ_{i},CP_{i}$ ανήκει στη διχοτόμο της

.Ελέγχουμε 3 περιπτώσεις για τα $P_{i}$ : $P_{1}$ η τομή της διχοτόμου και της

,οπότε εύκολα το

είναι το

και η τομή των $AQ_{1},CP_{1}$ ανήκει στη διχοτόμο, $P_{2}=D=Q2$ όπου η τομή των ευθειών είναι το

και $P_{3}=A$ οπότε και $Q_{3}=C$ .Επειδή οι δέσμες $A(Q_{i}),C(P_{i})$ έχουν ίδιους διπλούς λόγους(εξ'ορισμού-τα $AP_{i},CQ_{i}$ είναι ίσα) και επειδή έχουν κοινή ακτίνα την

,οι τομές των υπολοίπων ακτινών είναι συνευθειακές, και η ευθεία αυτή προφανώς περνάει από τις τομές των $AQ_{1},CP_{1}$ ,
$P_{2}=D=Q2$ και άρα είναι η διχοτόμος...

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 10, 2018 11:57 am
Ίσα τμηματα στις πλευρές παραλληλογράμμου.png
Δίνεται παραλληλόγραμμο και έστω τυχαίο σημείο της διχοτόμου της γωνίας $A\widehat DC.$ Οι

τέμνουν τις ή τις προεκτάσεις τους στα σημεία αντίστοιχα. Να δείξετε ότι

Έστω $\displaystyle E$ επί της $\displaystyle AD$ με $\displaystyle AE = AP$ και $\displaystyle AM \cap DC = S$ .Επειδή $\displaystyle DA = AK$ θα είναι και $\displaystyle DE = PK$

Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle EC//AS$

Ισχύει , $\displaystyle \frac{{CS}}{{AE}} = \frac{{CS}}{{AP}} = \frac{{SM}}{{MA}}(1)$ και $\displaystyle \frac{{DC}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{PK}} = \frac{{CM}}{{MP}} = \frac{{SM}}{{MA}}(2)$

Από $\displaystyle (1),(2) \Rightarrow \boxed{\frac{{CS}}{{AE}} = \frac{{DC}}{{DE}}} \Rightarrow EC//AS \Rightarrow AESQ$ παραλ/μμο $\displaystyle \Rightarrow \boxed{AE = AP = CQ}$

: ίσα τμήματα.png (16.88 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 10, 2018 11:57 am
Ίσα τμηματα στις πλευρές παραλληλογράμμου.png
Δίνεται παραλληλόγραμμο και έστω τυχαίο σημείο της διχοτόμου της γωνίας $A\widehat DC.$ Οι

τέμνουν τις ή τις προεκτάσεις τους στα σημεία αντίστοιχα. Να δείξετε ότι

Με $\left\{ \begin{gathered} F \equiv CM \cap AD \hfill \\ T \equiv DM \cap BC \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{AP\parallel DC} \dfrac{{AP}}{{DC}} = \dfrac{{FA}}{{FD}}\mathop = \limits^{DAF\parallel TQC}$ $\dfrac{{CQ}}{{CT}}\mathop = \limits^{DC = CT\left( {\angle CTD = \angle ADT = \angle CDT} \right)} \dfrac{{CQ}}{{DC}} \Rightarrow AP = CQ$

Στάθης

#5

Στο σχήμα :

: ισα τμήματα στις πλευρές τριγώνου_1.png (21.52 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Προφανές ότι το τρίγωνα $ADT\,\,$ είναι ισοσκελές με κορυφές το

.

Ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} \frac{m}{a} = \frac{{MP}}{{MC}} = \frac{x}{{CS}} \hfill \\ \frac{q}{a} = \frac{q}{{AB}} = \frac{y}{{CS}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{m}{q} = \frac{x}{y} \Rightarrow \frac{{m + x}}{{q + y}} = \frac{x}{y} \Rightarrow x = y}$

αφού x + m = AD = BC = y + q

.

STOPJOHN · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 10, 2018 11:57 am
Ίσα τμηματα στις πλευρές παραλληλογράμμου.png
Δίνεται παραλληλόγραμμο και έστω τυχαίο σημείο της διχοτόμου της γωνίας $A\widehat DC.$ Οι

τέμνουν τις ή τις προεκτάσεις τους στα σημεία αντίστοιχα. Να δείξετε ότι

Από τα όμοια τρίγωνα
$PMK,DMC,\dfrac{b-x}{a}=\dfrac{MK}{DM},(1) ,AP=x,QC=y,AD=b,AB=a$

Ομοίως απο τα όμοια τρίγωνα $MQC,AMD,\dfrac{a-y}{b}=\dfrac{MQ}{AM}=\dfrac{MG}{MD},(2),$

Στο τρίγωνο DCG

από το θεώρημα του Μενελάου με τέμνουσα $MQO,\dfrac{a-y}{y}.\dfrac{OC}{OC+a}.\dfrac{DM}{MG}=1$ και λόγω της $(2),OC=\dfrac{ay}{b-y}$
Από τα όμοια τρίγωνα $MCO,AMP,\dfrac{OC}{x}=\dfrac{MC}{MP}=\dfrac{MO}{AM}$
και λογω της $(1),OC=\dfrac{ax}{b-x},(**)$
Συνεπώς απο τις σχέσεις $(*),(**)\Rightarrow \dfrac{ay}{b-y}=\dfrac{ax}{b-x}\Leftrightarrow x=y$

Γιάννης

Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

Re: Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

Re: Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

Re: Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

Re: Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

Re: Ίσα τμήματα στις πλευρές παραλληλογράμμου

Μέλη σε σύνδεση