Ίση με το ημιάθροισμα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7097
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίση με το ημιάθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 08, 2018 10:32 am

Ίση με το  ημιάθροισμα.png
Ίση με το ημιάθροισμα.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές
Οι διχοτόμοι BE, CD τριγώνου ABC τέμνονται στο I και η AI τέμνει την DE στο M. Η παράλληλη από το M

στη BC τέμνει τις AB, AC στα P, Q αντίστοιχα. Να δείξετε ότι \displaystyle PQ = \frac{{BP + CQ}}{2}



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίση με το ημιάθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Αύγ 08, 2018 10:38 pm

Εστω x ο λόγος ομοιότητας των τριγώνων APQ, ABC.

Εστω K\equiv AI\cap BC.

Από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο APQ με διατέμνουσα την DE, παίρνω:

\frac{DA}{DP}\cdot \frac{MP}{MQ}\cdot \frac{EQ}{EA}=1.

Ομως

DA=\frac{bc}{a+b}, EA=\frac{bc}{c+a}

και

DP=DA-AP=\frac{bc}{a+b}-ABx=\frac{bc}{a+b}-cx

και όμοια

EQ=AQ-EA=bx-\frac{bc}{a+c}

και

MP=BKx=\frac{cax}{b+c},MQ=CKx=\frac{abx}{b+c}.

Αντικαθιστούμε και λύνουμε ως προς x και βρίσκουμε:

x=\frac{b+c}{2a+b+c}

Αρα

PQ=ax=\frac{ab+ca}{2a+b+c}

και

BP=AB-AP=c-cx=\frac{2ca}{2a+b+c}

και

CQ=AC-AQ=b-bx=\frac{2ab}{2a+b+c}

Αρα CQ+BP=2PQ, ό.έ.δ.


Κώστας Σφακιανάκης
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1444
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίση με το ημιάθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Αύγ 09, 2018 5:31 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Αύγ 08, 2018 10:32 am
Ίση με το ημιάθροισμα.png
Οι διχοτόμοι BE, CD τριγώνου ABC τέμνονται στο I και η AI τέμνει την DE στο M. Η παράλληλη από το M

στη BC τέμνει τις AB, AC στα P, Q αντίστοιχα. Να δείξετε ότι \displaystyle PQ = \frac{{BP + CQ}}{2}

Έστω \displaystyle Ax//BC και \displaystyle BM \cap Ax = F,BM \cap AC = K και \displaystyle BE \cap Ax = L οπότε \displaystyle \frac{{BL}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{EC}}

Ακόμη \displaystyle \frac{{DB}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{AC}}, \frac{{IE}}{{BI}} = \frac{{AE}}{{AB}} και \displaystyle \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{BC}}

Στο \displaystyle \vartriangle AEL με διατέμνουσα \displaystyle FKB έχουμε

\displaystyle \frac{{FL}}{{FA}} \cdot \frac{{KA}}{{KE}} \cdot \frac{{BE}}{{BL}} = 1 \Rightarrow \frac{{FL}}{{FA}} = \frac{{KE}}{{KA}} \cdot \frac{{BL}}{{BE}} \Rightarrow \frac{{FL}}{{FA}} = \frac{{KE}}{{KA}} \cdot \frac{{AC}}{{EC}}(1)

Στο τρίγωνο \displaystyle AEB με θ.CEVA για τις συγκλίνουσες στο \displaystyle M σεβιανές \displaystyle AI,ED,BK έχουμε

\displaystyle \frac{{KE}}{{KA}} \cdot \frac{{AD}}{{DB}} \cdot \frac{{BI}}{{IE}} = 1 \Rightarrow \frac{{KE}}{{KA}} = \frac{{DB}}{{AD}} \cdot \frac{{IE}}{{BI}} \Rightarrow \boxed{\frac{{KE}}{{KA}} = \frac{{BC}}{{AC}} \cdot \frac{{AE}}{{AB}}}

Άρα \displaystyle \left( 1 \right) \Rightarrow \frac{{FL}}{{FA}} = \frac{{BC}}{{AC}} \cdot \frac{{AE}}{{AB}} \cdot \frac{{AC}}{{EC}} \Rightarrow \frac{{FL}}{{FA}} = \frac{{AE}}{{EC}} \cdot \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AB}} = 1

Έτσι \displaystyle \boxed{AF = FL} κι επειδή \displaystyle \frac{{PM}}{{MS}} = \frac{{AF}}{{FL}} = 1 \Rightarrow M μέσον του \displaystyle PS

Θεωρώντας τώρα \displaystyle Z,H μέσα των \displaystyle PB,QC αντίστοιχα,θα έχουμε \displaystyle ZH//PQ,MZ//BS κι αφού

\displaystyle PB = PS \Rightarrow PM = PZ και \displaystyle ZM διχοτόμος της \displaystyle \angle AZH άρα \displaystyle MQ = QH

Επομένως \displaystyle PQ = MP + MQ = PZ + QH \Rightarrow \boxed{PQ = \frac{{PB + QC}}{2}}
ίση με το ημιάθροισμα.png
ίση με το ημιάθροισμα.png (19.97 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7097
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίση με το ημιάθροισμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Αύγ 11, 2018 4:35 pm

Αλλιώς. Σύμφωνα με αυτήν είναι MA'=MB'+MC' κι επειδή MB'=MC' θα είναι \boxed{x=2y} (1)
Ίση με το ημιάθροισμα.β.png
Ίση με το ημιάθροισμα.β.png (19.17 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές
\displaystyle (BPQC) = (BPM) + (BMC) + (CQM) \Leftrightarrow \frac{{PQ + BC}}{2}x = \frac{{BP}}{2}y + \frac{{BC}}{2}x + \frac{{CQ}}{2}y \Leftrightarrow

\displaystyle PQ \cdot x = (BP + CQ)y\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{2PQ=BP+CQ}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Mihalis_Lambrou και 2 επισκέπτες