Ίσοι λόγοι

#1

: Ίσοι λόγοι.png (15.08 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

Έστω

το περίκεντρο τριγώνου ABC

και

ένα σημείο του τόξου $\overset\frown {AB}$ στο οποίο δεν ανήκει το

Η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

και τη

στο

Η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

και την

στο

Να δείξετε ότι $\dfrac{PQ}{QR}=\dfrac{ST}{PQ}.$

S.E.Louridas · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 8:01 pm
Έστω το περίκεντρο τριγώνου και ένα σημείο του τόξου $\overset\frown {AB}$ στο οποίο δεν ανήκει το Η κάθετη από το
στην τέμνει την στο και τη στο Η κάθετη από το στην τέμνει την στο και την στο
Να δείξετε ότι $\dfrac{PQ}{QR}=\dfrac{ST}{PQ}.$

Τα τρίγωνα AQR, BTS, ABC,

είναι όμοια, με $\angle Q = \angle S = \angle C,\;\,\angle T = \angle A,\;\,\angle B = \angle R.$

Έτσι έχουμε: $PQ = PS\;\left( 1 \right)$ και $\displaystyle{QR = \frac{{BC}}{{AC}}AQ,\,\;ST = \frac{{AC}}{{BC}}BS \Rightarrow QR \cdot ST = AQ \cdot BS.}$

Αρκεί λοιπόν με βάση και την (1)

, να αποδείξουμε $\displaystyle{AQ \cdot SB = PQ \cdot PS,}$ που ισχύει αφού τα τρίγωνα PQA, PBS

είναι όμοια επειδή

$\angle Q = \angle S,\;\angle SBP = \angle AEP = \angle APQ.$

: αςεφγ.png (62.65 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 8:01 pm
Ίσοι λόγοι.png
Έστω το περίκεντρο τριγώνου και ένα σημείο του τόξου $\overset\frown {AB}$ στο οποίο δεν ανήκει το Η κάθετη από το

στην τέμνει την στο και τη στο Η κάθετη από το στην τέμνει την στο και την στο

Να δείξετε ότι $\dfrac{PQ}{QR}=\dfrac{ST}{PQ}.$

Προεκτείνω τη

μέχρι να κόψει το κύκλο στο

. Η εφαπτομένη ευθεία

του κύκλου στο

είναι παράλληλη με τη χορδή

με άμεσες συνέπειες :

1. Το τετράπλευρο BCRQ

να είναι εγγράψιμο

2. Τα τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ARQ$ είναι όμοια.

Για όμοιους λόγους είναι εγγράψιμο το τετράπλευρο CAST

και τα τρίγωνα $BAC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BTS$ είναι όμοια .

Τώρα στο τρίγωνο PSQ

οι γωνίες της βάσης του

είναι ίσες ως συμπληρώματα των γωνιών της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου OAB

και άρα $PS = PQ\,\,\,(1)$ .

Τέλος είναι όμοια τα τρίγωνα $APQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PBS$ γιατί έχουν ίσες τις γωνίες :

$\widehat {AQP} = \widehat {PSB}$ ( παραπληρώματα ίσων γωνιών) και $\widehat {APQ} = \widehat {PBS}\,\,\,( = \widehat {PBA})$ ( βαίνουν σε ίσα τόξα).

: ϊσοι λόγοι.png (33.29 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

Μετά απ’ αυτά:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{QR}}{a} = \frac{{AQ}}{b} \hfill \\ \frac{{ST}}{b} = \frac{{SB}}{a} \hfill \\ \frac{{PQ}}{{AQ}} = \frac{{SB}}{{PS}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} QR \cdot ST = AQ \cdot SB \hfill \\ PQ \cdot PS = AQ \cdot SB \hfill \\ \end{gathered} \right.$ οπότε λόγω της (1)

έχω : $P{Q^2} = QR \cdot ST$

Επί της ουσίας ( και με αρκετή διαφορά φάσεως ) είναι ή ίδια λύση με του Σωτήρη , αλλά είναι πραγματικά τιμή μου που έχω σύμπτωση απόψεων με τον καταξιωμένο τοις πάσι μαθηματικό και εξαίρετο συγγραφέα (σε όλα τα επίπεδα, πανεπιστημιακών και μη) βιβλίων Σωτήρη Λουρίδα .

Ίσοι λόγοι

Ίσοι λόγοι

Re: Ίσοι λόγοι

Re: Ίσοι λόγοι

Μέλη σε σύνδεση