Η Κίνα έχει τους λόγους της

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10738
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Η Κίνα έχει τους λόγους της

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 19, 2018 11:18 am

[attachment=0]Η Κίνα έχει τους λόγους της.png[/attachment]
Έστω I το έγκεντρο και M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC. Η CI τέμνει τον περίκυκλο

του τριγώνου στο E και η MI την ευθεία AB στο D. Να δείξετε ότι \displaystyle \frac{{ED}}{{EI}} = \frac{{IB}}{{IC}}.
Συνημμένα
Η Κίνα έχει τους λόγους της.png
Η Κίνα έχει τους λόγους της.png (15.61 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Η Κίνα έχει τους λόγους της

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Ιούλ 19, 2018 5:42 pm

Παρατηρούμε πως EB=EI, οπότε αρκεί \dfrac{ED}{EB}=\dfrac{IB}{IC}.

Αρκεί να αποδειχθεί πως τα τρίγωνα DEB και BIC είναι όμοια.

Παρατηρούμε πως \widehat{DBE}=\widehat{ACE}=\widehat{ECB}=\widehat{ICB}.

Θέλουμε τώρα να αποδείξουμε πως \widehat{EDB}=\widehat{IBC}=\widehat{IBD}, επομένως αρκεί ED//BI.

Έστω K το σημείο τομής της CI με την AB.

Εκτελώντας το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο KCB με την τέμνουσα MID συμπεραίνουμε πως:

\dfrac{BM}{MC}\cdot \dfrac{CI}{IK}\cdot \dfrac{DK}{DB}=1\Leftrightarrow \dfrac{IK}{CI}=\dfrac{DK}{DB}

Για να αποδειχθεί η παραλληλία που επιδιώκουμε αρκεί \dfrac{DK}{DB}=\dfrac{EK}{EI}.

Οπότε αρκεί \dfrac{EK}{EI}=\dfrac{IK}{IC}.

Από εδώ υποθέτω πως θα υπάρχει και πιο σύντομος δρόμος, αλλά μιας και δεν τον βρήκα θα φερθώ "ανορθόδοξα".

Έστω I_C το παράκεντρο της κορυφής C.

Λόγω του ότι η BI διχοτομεί την \widehat{KBC} και \widehat{I_CBI}=90^o, έχουμε πως η τετράδα (I_C, I, K, C) είναι αρμονική.

Ξέρουμε ακόμα πως το E είναι το μέσο του II_C (κλασσικό λήμμα).

Ισχύουν δύο σχέσεις σε αρμονικές που σχετίζονται με μέσο:

EI^2=EK\cdot EC (η Newton)
\dfrac{EK}{EC}=(\dfrac{IK}{IC})^2 (δεν έχει όνομα, αλλά είναι κλασσική πρόταση που αποδεικνύεται μάλιστα από την Newton)

(Στην πραγματικότητα δεν χρειάστηκα ουσιαστικά το παράκεντρο, απλά με την βοήθεια του έφτασα σε αυτές τις δύο σχέσεις :P )

Χρησιμοποιώντας την πρώτη δύο φορές συνεχόμενα παίρνουμε πως \dfrac{EK}{EI}=\dfrac{EI}{EC}=\dfrac{\sqrt{EK\cdot EC}}{EC}=\sqrt{\dfrac{EK}{EC}}

Από τη δεύτερη σχέση όμως παίρνουμε πως \sqrt{\dfrac{EK}{EC}}=\dfrac{IK}{IC}. Άρα τελικά \dfrac{EK}{EI}=\dfrac{IK}{IC} και το ζητούμενο αποδείχθηκε!

Μπορεί να βάλω πιο μετά το σχήμα!


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες