Δύο κύκλοι κι ένα μέσο

#1

: Αστυνόμος Σαiνης.png (16.35 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές

Από σημείο

εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ . Έστω δε

άλλο σημείο του .

Άλλος κύκλος διέρχεται από τα A,B

και οι $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τον τέμνουν ακόμα στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ Δείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από το μέσο

του

Έχει λιτή απάντηση .

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλησπέρα στην όμορφη Κρήτη!

Φέρνουμε παράλληλη από το

στην

και έστω το σημείο τομής αυτής με την

να είναι το

.

Προφανώς, η πολική του

είναι η

, και το

ανήκει σε αυτήν, άρα από το θεώρημα La Hire, το

ανήκει στην πολική του

.

Αφού $CP \parallel KL \Rightarrow \angle PCA=\angle LKC=\angle CBA=\angle B \Rightarrow$ η

είναι εφαπτόμενη στον κύκλο, άρα το

ανήκει στην πολική του

.

Επομένως, η πολική του

είναι η

, συνεπώς αν $N \equiv CS \cap PB$ , τότε (P,N/A,B)=-1

.

Αφού όμως ισχύει επίσης $CP \parallel KL$ , οι CB,CA,CN

ορίζουν στην

ίσα τμήματα, οπότε MK=ML

.

: MESO.png (36.52 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 13, 2018 9:07 pm
Καλησπέρα στην όμορφη Κρήτη!

Φέρνουμε παράλληλη από το στην και έστω το σημείο τομής αυτής με την να είναι το .

Προφανώς, η πολική του είναι η , και το ανήκει σε αυτήν, άρα από το θεώρημα La Hire, το ανήκει στην πολική του .

Αφού $CP \parallel KL \Rightarrow \angle PCA=\angle LKC=\angle CBA=\angle B \Rightarrow$ η είναι εφαπτόμενη στον κύκλο, άρα το ανήκει στην πολική του .

Επομένως, η πολική του είναι η , συνεπώς αν $N \equiv CS \cap PB$ , τότε .

Αφού όμως ισχύει επίσης $CP \parallel KL$ , οι ορίζουν στην ίσα τμήματα, οπότε .

MESO.png

Αν και η κατασκευή της άσκησης έγινε με άλλο σκεφτικό , η λύση του Ορέστη είναι πολύ όμορφη . Αν δε λάβω υπ όψη και το νεαρό της ηλικίας του τότε αβίαστα κάνω συνειρμούς που μέχρι σήμερα δεν έχω κάνει για άλλο μαθητή!!

#4

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 13, 2018 7:58 pm
Αστυνόμος Σαiνης.png

Από σημείο εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ . Έστω δε άλλο σημείο του .

Άλλος κύκλος διέρχεται από τα και οι $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τον τέμνουν ακόμα στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ Δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του

Έχει λιτή απάντηση .

Θα αρκούσε αν πω, ότι η

είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου CAB

και στα όμοια τρίγωνα $CAB,\,\,\,CLK$ η διάμεσος του ενός είναι συμμετροδιάμεσος του άλλου;

#5

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 13, 2018 11:17 pm

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 13, 2018 7:58 pm
Αστυνόμος Σαiνης.png

Από σημείο εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ . Έστω δε άλλο σημείο του .

Άλλος κύκλος διέρχεται από τα και οι $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τον τέμνουν ακόμα στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ Δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του

Έχει λιτή απάντηση .
Θα αρκούσε αν πω, ότι η είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου και στα όμοια τρίγωνα $CAB,\,\,\,CLK$ η διάμεσος του ενός είναι συμμετροδιάμεσος του άλλου;

Ακριβώς: η είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου και η είναι αντιπαράλληλη της

Δύο κύκλοι κι ένα μέσο

Δύο κύκλοι κι ένα μέσο

Re: Δύο κύκλοι κι ένα μέσο

Re: Δύο κύκλοι κι ένα μέσο

Re: Δύο κύκλοι κι ένα μέσο

Re: Δύο κύκλοι κι ένα μέσο

Μέλη σε σύνδεση