Ημιπολύτιμος λόγος

#1

: Ημιπολύτιμος λόγος.png (8.91 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

Έστω

το ύψος,

το ορθόκεντρο και

το έγκεντρο ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC).

Αν

να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{b}{a}.$

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα! Με την βοήθεια Γιώργο της καλής μας Τριγωνομετρίας και χρήση του σχήματος:

: Ημί..χρυσος λόγος G.V.PNG (12.71 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές

Έστω $\widehat{B}=\widehat{C}=2\omega \Rightarrow \widehat{BHD}=2\omega$ ( DHFC

εγγράψιμο).
Έχουμε $ID=\dfrac{a\varepsilon \varphi \omega }{2}$ , $AI=HD=\dfrac{a}{2\varepsilon \varphi 2\omega }$ ενώ $AD=\dfrac{a\varepsilon \varphi 2\omega }{2}$

$AD=AI+ID \Leftrightarrow \dfrac{a\varepsilon \varphi 2\omega }{2} = \dfrac{a}{2\varepsilon \varphi 2\omega } + \dfrac{a\varepsilon \varphi \omega }{2}$ ή $\varepsilon \varphi 2\omega =\varepsilon \varphi \omega +\dfrac{1}{\varepsilon \varphi 2\omega } ..(1)$ .
Θέτω $\varepsilon \varphi \omega =x$ , τότε $\varepsilon \varphi 2 \omega = \dfrac{2x}{1-x^{2}}$ οπότε
$(1) \Leftrightarrow..x^{4}+4x^{2}-1=0$ Αν $y=x^{2}> 0$ τότε $y^{2}+4y-1=0 \Leftrightarrow y=\sqrt{5}-2=\dfrac{2-\Phi }{\Phi }$

ενώ $\varepsilon \varphi ^{2}\omega =x^{2}=y$ οπότε $\dfrac{1-\sigma \upsilon \nu B}{1+\sigma \upsilon \nu B}= \varepsilon \varphi ^{2}\omega =y=\dfrac{2-\Phi }{\Phi }$ συνεπώς $\sigma \upsilon \nu B=\Phi -1 =\dfrac{1}{\Phi }$ .

Τέλος $\sigma \upsilon \nu B=\dfrac{a/2}{b}$ άρα $\dfrac{b}{a}=\dfrac{\Phi }{2}$ .
Για την κατασκευή θεωρούμε αρχικά το ορθογώνιο τρίγωνο BEC

με $\widehat{EBC}=36^{0}$
και παίρνουμε AB=AC=BE

..Φιλικά Γιώργος.

#3

: Ημιπολύτιμος λόγος_ok.png (23.34 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

Έστω

το περίκεντρο του ABC

τότε ( θεώρημα Euler

) $O{I^2} = {R^2} - 2Rr$ .

Αλλά $AH = 2OD \Rightarrow IM = 2OD$ άρα το

είναι μέσο του

και από το Π. Θ. στο

$\vartriangle DOB$ έχω : ${R^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} + {R^2} - 2Rr \Rightarrow \boxed{{a^2} = 8Rr}$ Η σχέση αυτή δίδει :

${a^2} = 2\dfrac{{a{b^2}}}{E} \cdot \dfrac{E}{s} \Leftrightarrow \boxed{a(a + 2b) = 4{b^2}}\,\,\,(1)$ όπου $E = (ABC)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,2s = a + b + b = a + 2b$

Η (1)

για

δίδει $4{x^2} - 2x - 1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4} = \dfrac{\varphi }{2}}$

Ημιπολύτιμος λόγος

Ημιπολύτιμος λόγος

Re: Ημιπολύτιμος λόγος

Re: Ημιπολύτιμος λόγος

Μέλη σε σύνδεση